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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 5ef5ab5..aeaebc9 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -2473,6 +2473,9 @@ dans $(k^{\alg})^d$ une partie $E$ de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical. +Un fermé de Zariski de la forme $Z(f)$ s'appelle une +\textbf{hypersurface}. + Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble $(k^{\alg})^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) = (k^{\alg})^d$). Le singleton de tout $x \in k^d$ (à coordonnées @@ -2699,6 +2702,10 @@ premier. Ce contre-exemple suggère le résultat suivant : Un fermé de Zariski $Z(I)$, avec $I$ un idéal radical, est irréductible si, et seulement si, l'idéal $I$ est premier (i.e., l'anneau des fonctions régulières sur $Z(I)$ est intègre). + +En particulier, un fermé de Zariski de la forme $Z(f)$ (c'est-à-dire, +une \emph{hypersurface}) est irréductible si et seulement si $f$ est +nul ou irréductible. \end{prop} \begin{proof} Supposons $I$ premier (donc automatiquement radical) : on veut montrer @@ -2725,6 +2732,10 @@ irréductible, on a, disons, $Z(I_1) = Z(I)$, c'est-à-dire $Z(I) \subseteq Z(f_1)$, ce qui signifie $f_1 \in I$ d'après \ref{zeros-and-ideals-bijections}. Ceci montre bien que $I$ est premier. + +L'affirmation du dernier paragraphe est une conséquence de ce qu'on a +dit en \ref{examples-prime-ideals} (et du fait que $k[t_1,\ldots,t_d]$ +est factoriel, cf. \ref{gauss-lemma-on-irreducibility}). \end{proof} \thingy\label{geometric-irreducibility} Il est important de noter |