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diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex new file mode 100644 index 0000000..44e1755 --- /dev/null +++ b/controle-2020qcm.tex @@ -0,0 +1,424 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% +\newenvironment{qcm}{\relax}{\relax} +\newenvironment{qvar}{\relax}{\relax} +\newcounter{quescnt} +\newenvironment{question}% +{\stepcounter{quescnt}\bigskip\noindent\textbf{Question~\arabic{quescnt}.}\par\nobreak} +{\relax} +\newcounter{answcnt}[quescnt] +\newcommand\answer{% +\stepcounter{answcnt}\smallskip\textbf{(\Alph{answcnt})}~} +\let\rightanswer=\answer +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\corrigefalse +\def\seedval{test} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\else +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\fi +\author{} +\date{18 juin 2020} +\maketitle + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +Ce contrôle de connaissances est un QCM (questionnaire à choix +multiples). Chaque question admet une unique réponse correcte. Les +questions sont totalement indépendantes les unes des autres. La +sélection des questions et l'ordre ont été tirés aléatoirement et +n'obéissent donc à aucune logique particulière. + +La réponse est attendue sous forme d'une liste de numéros de question +suivie de la réponse proposée : par exemple, « \verb=1A 2B 4D= » pour +signifier que la réponse proposée à la question 1 est (A), la réponse +proposée à la question 2 est (B), et la réponse proposée à la +question 4 est (D). + +Une réponse incorrecte sera (deux fois) plus fortement pénalisée +qu'une absence de réponse : il est donc préférable de ne pas répondre +à une question que de répondre aléatoirement. + +\medbreak + +Durée : 1h de 10h30 à 11h30 + +\vfill + +\noindent +Sujet généré pour : \texttt{\seedval} + +\medskip + +{\tiny\noindent +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + +\begin{qcm} + + +% +% +% + +\begin{qvar} + +\begin{question} + +Lequel des points suivants coïncide avec $(0{:}1{:}2)$ dans le plan +projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ? + +\rightanswer +$(0{:}3{:}1)$ + +\answer +$(1{:}2{:}3)$ + +\answer +$(1{:}2{:}4)$ + +\answer +$(0{:}2{:}3)$ + +\answer +aucun de ceux-ci + +\end{question} + +\begin{question} + +Lequel des points suivants coïncide avec $(0{:}1{:}2)$ dans le plan +projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ sur le corps à $3$ éléments ? + +\rightanswer +$(0{:}2{:}1)$ + +\answer +$(1{:}2{:}0)$ + +\answer +$(1{:}2{:}1)$ + +\answer +$(0{:}2{:}2)$ + +\answer +aucun de ceux-ci + +\end{question} + +\end{qvar} + + +% +% +% + +\begin{qvar} + +\begin{question} + +Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_5$) du plan +projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ sur le corps à $5$ éléments ? + +\rightanswer +$31$ + +\answer +$26$ + +\answer +$40$ + +\answer +$25$ + +\answer +$24$ + +\end{question} + +\begin{question} + +Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_4$) du plan +projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_4)$ sur le corps à $4$ éléments ? + +\rightanswer +$21$ + +\answer +$17$ + +\answer +$24$ + +\answer +$16$ + +\answer +$15$ + +\end{question} + +\begin{question} + +Quel est le nombre de points (sur $\mathbb{F}_3$) du plan +projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_3)$ sur le corps à $3$ éléments ? + +\rightanswer +$13$ + +\answer +$10$ + +\answer +$12$ + +\answer +$9$ + +\answer +$8$ + +\end{question} + +\end{qvar} + + +% +% +% + +\begin{qvar} + +\begin{question} + +Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) +du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x^2 + y^2 - z^2 = 0\}$ du plan +projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) +sur le corps à $5$ éléments ? + +\rightanswer +$6$ + +\answer +$5$ + +\answer +$4$ + +\answer +$7$ + +\end{question} + +\begin{question} + +Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) +du fermé de Zariski $\{(x,y) : x^2 + y^2 - 1 = 0\}$ du plan +affine $\mathbb{A}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x,y)$) sur le +corps à $5$ éléments ? + +\rightanswer +$4$ + +\answer +$5$ + +\answer +$6$ + +\answer +$7$ + +\end{question} + +\end{qvar} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Quel est le nombre de points sur $\mathbb{F}_5$ (i.e., “rationnels”) +du fermé de Zariski $\{(x{:}y{:}z) : x + y = 0\}$ du plan +projectif $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées $(x{:}y{:}z)$) +sur le corps à $5$ éléments ? + +\rightanswer +$6$ + +\answer +$5$ + +\answer +$4$ + +\answer +$7$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Considérons deux droites distinctes du plan euclidien que la géométrie +euclidienne qualifie de “parallèles” : quelle est la description la +plus correcte de la situation de ces droites (en géométrie +algébrique) ? + +\rightanswer +elles se rencontrent en un point réel du plan projectif, mais ce point +est “à l'infini”, c'est-à-dire qu'il n'est pas dans le plan affine +réel + +\answer +elles ne se rencontrent pas dans le plan projectif, même sur les +complexes + +\answer +elles se rencontrent en deux points du plan projectif, mais ces deux +points sont complexes conjugués et non réels + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Considérons un cercle $C$ du plan euclidien et une droite $D$ qui, du +point de vue de la géométrie euclidienne, ne rencontre pas $C$ : +quelle est la description la plus correcte de la situation de +$C$ et $D$ (en géométrie algébrique) ? + +\rightanswer +elles se rencontrent en deux points du plan projectif, mais ces deux +points sont complexes conjugués et non réels + +\answer +elles se rencontrent en deux points réels du plan projectif, mais ces +points sont “à l'infini”, c'est-à-dire qu'ils ne sont pas dans le plan +affine réel + +\answer +elles ne se rencontrent pas dans le plan projectif, même sur les +complexes + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Considérons l'idéal $I \subseteq \mathbb{R}[x,y]$ formé des polynômes +réels en deux variables s'annulant en les trois points $(0,0)$, +$(1,0)$ et $(0,1)$ de $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $(x,y)$ +(autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\{(0,0), \penalty0 (1,0), \penalty0 +(0,1)\})$). Cet idéal $I$ est engendré par... + +\rightanswer +$x(x-1)$, $y(y-1)$ et $xy$ + +\answer +$x$, $x-1$, $y$ et $y-1$ + +\answer +$x(x-1)y(y-1)$ + +\end{question} + + +% +% +% + +\begin{question} + +Considérons l'idéal homogène $I \subseteq \mathbb{R}[x,y,z]$ des +polynômes réels en trois variables engendré par les polynômes +homogènes s'annulant au point $(0{:}0{:}1)$ de $\mathbb{P}^2$ de +coordonnées homogènes $(x,y,z)$ (autrement dit, $I = +\mathfrak{I}(\{(0{:}0{:}1)\})$). Cet idéal $I$ est engendré par... + +\rightanswer +$x$ et $y$ + +\answer +$x$, $y$ et $z-1$ + +\answer +$x$, $y$ et $z$ + +\answer +$xy$ et $z$ + +\answer +$xy$ et $z^2$ + +\end{question} + + +\end{qcm} +% +% +% +\end{document} |