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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 0e83db0..044bedf 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -455,7 +455,7 @@ engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $K$ est la \emph{réunion} des sous-extensions $k(x_i)_{i\in J}$ engendrées par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$ fini) de la famille donnée. (Autrement dit, $y \in K$ appartient à -$k(x_i)_{i\in I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel +$k(x_i)_{i\in I}$ si et seulement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$ appartienne à $k(x_i)_{i\in J}$.) Contrairement au cas des algèbres @@ -826,7 +826,7 @@ $K(t_1,\ldots,t_n)$, i.e., toute famille $k$-linéairement indépendante de $K$ est encore linéairement indépendante sur $k(t_1,\ldots,t_n)$ (dans $K(t_1,\ldots,t_n)$). Si de plus $K$ est algébrique sur $k$, alors toute base de $K$ comme $k$-espace -vecotriel est une base de $K(t_1,\ldots,t_n)$ comme +vectoriel est une base de $K(t_1,\ldots,t_n)$ comme $k(t_1,\ldots,t_n)$-espace vectoriel. \end{prop} \begin{proof} @@ -2894,7 +2894,7 @@ V'_1$ et $\iota_2\colon V\to V'_2$ construites en même temps. Cet espace $V'$ s'appelle l'\defin{extension des scalaires} de $V$ de $k$ à $k'$ et se note $V \otimes_k k'$. Sa dimension sur $k'$ est, -par contruction, égale à la dimension de $V$ sur $k$. On notera +par construction, égale à la dimension de $V$ sur $k$. On notera $x\otimes 1$ l'élément $\iota(x)$ défini ci-dessus (dont les coordonnées sur la base $e_i$ sont celles de $x$), et plus généralement $x\otimes c$ pour $c\in k'$ l'élément $c\iota(x)$ dont @@ -3379,7 +3379,7 @@ contredisant l'hypothèse faite sur $k$. En particulier, $\mathbb{R}(x,y : x^2+y^2=-1)$ fournit un exemple d'une extension de corps de $\mathbb{R}$ de type fini et de degré de -transcendance $1$ mais qui n'est pas trancendante pure. +transcendance $1$ mais qui n'est pas transcendante pure. La courbe décrite par cet exemple est ce qu'on appelle généralement une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point @@ -4105,7 +4105,7 @@ de l'anneau de valuation discrète $\mathcal{O}$. Montrons le (a). Si $t$ engendre $\mathfrak{m}$, alors clairement $v(t) = 1$ car pour tout $x$ tel que $v(x) > 0$, on peut écrire $x = t z$ pour un certain $z \in \mathcal{O}$ (puisque $x \in \mathfrak{m}$ -et que $t$ engerndre cet idéal), donc $v(x) \leq v(t)$ et $t$ est bien +et que $t$ engendre cet idéal), donc $v(x) \leq v(t)$ et $t$ est bien de la valuation strictement positive la plus petite possible. Réciproquement, si $v(t) = 1$ (la valuation strictement positive la plus petite possible), et si $x \in \mathfrak{m}$, alors $v(x) \geq @@ -4915,7 +4915,7 @@ Si $K = k(C)$ est un corps de fonctions de courbe sur $k$, on appelle \sum_P \ord_P(f)\cdot (P)$ pour une certaine fonction $f \in k(C)$ non nulle. Les diviseurs principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs, et même des diviseurs de degré zéro : on dit que deux -divieurs $D$ et $D'$ sont \defin[linéairement équivalents +diviseurs $D$ et $D'$ sont \defin[linéairement équivalents (diviseurs)]{linéairement équivalents}, et on note $D \sim D'$, lorsque leur différence $D'-D$ est un diviseur principal. Le groupe des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs @@ -4959,7 +4959,7 @@ par le degré) et $\Pic^0(\mathbb{P}^1_k) = 0$. \begin{defn} Soit $K = k(C)$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, et soit $D = -\sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire la donnée d'un +\sum_P n_P \cdot (P)$ un diviseur sur $C$ (c'est-à-dire la donnée d'un entier $n_P$ pour chaque place de $P$, tous nuls sauf un nombre fini). On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de Riemann-Roch} associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel @@ -5417,7 +5417,7 @@ classe\footnote{Normalement la classe canonique est plutôt notée par canonique. \thingy Si $D = \sum_P n_P \cdot (P)$ est un diviseur et $W$ un -diviseu canonique, on pourra remarquer que +diviseur canonique, on pourra remarquer que \[ \mathscr{L}(W-D) \cong \{\omega \in \Omega^1_{K/k} : (\forall P)\, \ord_P(\omega) \geq n_P\} |