diff options
| -rw-r--r-- | controle-20190403.tex | 266 |
1 files changed, 266 insertions, 0 deletions
diff --git a/controle-20190403.tex b/controle-20190403.tex new file mode 100644 index 0000000..b0f1c1a --- /dev/null +++ b/controle-20190403.tex @@ -0,0 +1,266 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}\par\nobreak} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigefalse +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\else +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\fi +\author{} +\date{3 avril 2019} +\maketitle + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Consignes.} + +\textcolor{red}{À remplir.} + +\medbreak + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des appareils électroniques est interdit. + +\medbreak + +Durée : 2h + +\vfill +{\noindent\tiny +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + + +% +% +% + +Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2$ (c'est-à-dire qu'on +pourra librement diviser par $2$), dont on notera $k^{\alg}$ la +clôture algébrique. + +On va s'intéresser à la variété algébrique (affine) $C := +\{(x^2+y^2)^2 = (x^2-y^2)\} \subseteq \mathbb{A}^2$, dite « lemniscate +de Bernoulli », définie dans le plan affine $\mathbb{A}^2$ de +coordonnées $(x,y)$ par le polynôme $h := (x^2+y^2)^2 - (x^2-y^2)$. +Autrement dit, $C$ est l'ensemble des points $(x,y)$ à coordonnées +dans $k^{\alg}$ (« points géométriques ») ou dans $k$ (« points +rationnels ») qui annulent $h$. + +\smallskip + +(1)(a) En notant $(Z{:}X{:}Y)$ les coordonnées du plan projectif +$\mathbb{P}^2$ dont on identifie comme d'habitude $\mathbb{A}^2$ à +l'ouvert $\{Z\neq 0\}$ par $(x,y) \mapsto (1{:}x{:}y)$, déterminer +l'équation de l'adhérence $\overline{C}$ de $C$ dans $\mathbb{P}^2$ +(= « projectivisée » de $C$). On rappelle qu'on attend une équation +homogène en $Z,X,Y$. + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(1)}(b) Quels sont les points (géométriques) +d'intersection de $\overline{C}$ avec la droite $\{Z=0\}$ de +$\mathbb{P}^2$ (« droite à l'infini ») ? On pourra appeler +$\{\xi,-\xi\}$ les racines du polynôme $1+t^2 \in k[t]$ +dans $k^{\alg}$. + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(1)}(c) Quelle est l'équation de l'intersection +de $\overline{C}$ avec $\{Y \neq 0\}$, lui aussi identifié à un plan +affine $\mathbb{A}^{2\prime}$ ? On notera $(u,v)$ les coordonnées sur +$\mathbb{A}^{2\prime}$ identifié à $\{Y \neq 0\}$ par $(u,v) \mapsto +(v{:}1{:}u)$ (on rappelle que les coordonnées de $\mathbb{P}^2$ sont +écrites dans l'ordre $(Z{:}X{:}Y)$). + +\medskip + +(2) On rappelle que l'espace vectoriel tangent à $\{h=0\}$ en un de +ses points $(x_0,y_0)$ est l'espace vectoriel des $(u,v)$ tels que +$\left.\frac{\partial h}{\partial x}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot u = 0$ et +$\left.\frac{\partial h}{\partial y}\right|_{(x_0,y_0)}\cdot v = 0$ +(on peut, si on le souhaite, le translater de $(x_0,y_0)$ de façon à +le voir comme un sous-espace affine de $\mathbb{A}^2$ passant par le +point de tangence). + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(2)}(a) Calculer $h'_x := \frac{\partial + h}{\partial x}$ et $h'_y := \frac{\partial h}{\partial y}$ (on +cherchera à factoriser l'écriture). + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(2)}(b) Déterminer l'espace tangent à $C$ +en $(0,0)$. Quelle est sa dimension ? + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(2)}(c) En étudiant chacun des quatre cas selon +que $x_0 = 0$ ou $x_0 \neq 0$ d'une part, et que $y_0 = 0$ ou $y_0 +\neq 0$ d'autre part, déterminer tous les points (géométriques) de $C$ +tels que $h'_x$ et $h'_y$ s'annulent. Un tel point est dit +« singulier ». (On rappelle aux distraits qu'on s'intéresse à des +points de $C$, c'est-à-dire, qui annulent aussi $h$ lui-même.) + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(2)}(d) En utilisant l'équation trouvée +en (1)(c), déterminer si les points « à l'infini » trouvés en (1)(b) +sont singuliers. Récapituler tous les point singuliers +de $\overline{C}$. + +\medskip + +(3) On s'intéresse maintenant à $D_\tau$ dans $\mathbb{A}^2$ défini +par l'équation $D_\tau := \{x^2+y^2 = \tau(x-y)\}$, où $\tau$ est un +paramètre qu'on va faire varier. On notera $f_\tau := x^2+y^2 - +\tau(x-y)$ + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(3)}(a) Si $k = \mathbb{R}$, que représente +$D_\tau$ du point de vue de la géométrie euclidienne élémentaire ? +(On pourra chercher à réécrire son équation de la forme $(x-x_c)^2 + +(y-y_c)^2 = \rho^2$ où $x_c,y_c,\rho$ sont des réels dont on donnera +la valeur en fonction de $\tau$.) + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(3)}(b) On s'intéresse à un point $(x,y)$ à +l'intersection de $C$ et $D_\tau$ (c'est-à-dire annulant à la fois +$h$ et $f_\tau$), et qui ne soit pas $(0,0)$. En substituant dans $h$ +la valeur de $x^2+y^2$ donnée par l'annulation de $f_\tau$, et en +observant que $x-y \neq 0$ (ce qu'on justifiera), montrer que [le + point est sur la droite d'équation] +\[ +(\tau^2+1) y = (\tau^2-1) x +\] + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(3)}(c) Toujours dans les conditions de la +question (3)(b), montrer que par le calcul que, lorsque $\tau^2 - 1$, +$\tau^2 + 1$ et $\tau^4 + 1$ sont tous non nuls, on a : +\[ +x = \frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1} +\hbox{\quad et\quad} +y = \frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1} +\tag{*} +\] +(On pourra remplacer dans $f_\tau$ la valeur de $y$ découlant de +l'équation trouvée en (3)(b), et factoriser.) + +\medskip + +(4) \underline{Indépendamment} de la question (3) qui a permis de +trouver les équations (*) ci-dessus, on cherche maintenant à dire que +ces équations « paramétrisent » la courbe $C$ (ou $\overline{C}$). + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(4)}(a) Les équations (*) définissent un +morphisme $\tau \mapsto \big(\frac{\tau\,(\tau^2+1)}{\tau^4+1}\,,\; +\frac{\tau\,(\tau^2-1)}{\tau^4+1}\big)$ d'un ouvert (de définition) $V +\subseteq \mathbb{A}^1$ vers $\mathbb{A}^2$. Que vaut $V$ ? Quel +calcul faut-il faire pour vérifier qu'on a en fait affaire à un +morphisme $V \to C$ ? (On ne demande pas de le faire mais d'expliquer +ce qu'il faudrait faire.) + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(4)}(b) Décrire le prolongement du morphisme $V +\to C \subset \mathbb{A}^2$, qu'on vient de décrire, en un morphisme +$\psi\colon \mathbb{P}^1 \to \overline{C} \subset \mathbb{P}^2$. On +écrira explicitement les coordonnées $(Z{:}X{:}Y)$ de l'image d'un +point $(t_0{:}t_1)$ de $\mathbb{P}^1$ par ce morphisme. (Bien sûr, +$\mathbb{A}^1$ est identifié à l'ouvert $\{t_0\neq 0\}$ de +$\mathbb{P}^1$ par $\tau \mapsto (1{:}\tau)$.) + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(4)}(c) Quelles sont les images par $\psi$ des +points $0$ et $\infty$ (c'est-à-dire respectivement +$(1{:}0)$ et $(0{:}1)$) de $\mathbb{P}^1$ ? En déduire que $\psi$ +n'est pas un isomorphisme. + +\smallskip + +\leavevmode\hphantom{(4)}(d) En utilisant la paramétrisation qu'on a +trouvée, énumérer un maximum de points rationnels de $C$ et +de $\overline{C}$ sur le corps fini $\mathbb{F}_5 = +\mathbb{Z}/5\mathbb{Z}$ à cinq éléments. + + + +% +% +% +\end{document} |