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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index b5aa884..4901fa9 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -5045,39 +5045,97 @@ est purement formel de vérifier que cette propriété caractérise complètement $\Omega^1_{K/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini ci-dessus. -\begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension} -Soit $k \subseteq K$ une extension de corps telle que (*) il existe -une base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour laquelle $K$ est -(algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$ -(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). Alors -$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base $(dt_i)_{i\in - I}$. - -De plus, l'hypothèse (*) qu'on vient de dire est vérifiée exactement -quand les extensions $K^p$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement -disjointes dans $K$ (comparer -avec \ref{linear-criterion-for-separability}). Elle est -\emph{notamment} vérifiée lorsque les extensions $K$ et $k^{\alg}$ -de $k$ sont linéairement disjointes dans $K^{\alg}$, et en particulier -lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de Zariski +Pour une extension de corps, le $K$-espace vectoriel $\Omega^1_{K/k}$ +est facile à décrire, à condition de faire une hypothèse de +séparabilité que nous énonçons maintenant. + +\begin{prop}\label{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps. Les propriétés suivantes +sont équivalentes : +\begin{itemize} +\item si la caractéristique est $p>0$, alors dans $K$, les corps $K^p$ + et $k$ sont linéairement disjoints sur $k^p$ + (cf. \ref{definition-linear-disjointness} ; i.e. les extensions $k^p + \subseteq K^p$ et $k^p \subseteq k$, tous deux contenues dans $K$, + sont linéairement disjointes), +\item il existe une base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour + laquelle $K$ est (algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$ + (cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). +\end{itemize} +Lorsque ces deux conditions équivalentes sont satisfaites, on dit que +$k \subseteq K$ est une extension (non nécessairement algébrique !) +\defin[séparable (extension)]{séparable} (il va de soi, en vertu de la +seconde condition, que pour une extension algébrique, on retrouve la +définition de « séparable » donnée +en \ref{definition-separable-algebraic-extension} ; comparer aussi +avec \ref{linear-criterion-for-separability} pour la première +condition ci-dessus dans le cas d'une extension algébrique). Dans les +conditions de la seconde condition, on dit aussi que $(t_i)_{i\in I}$ +est une base de transcendance \defin[séparante (base de + transcendance)]{séparante}. +\end{prop} +\begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} + +\thingy\label{discussion-separability-of-function-fields} Toute +extension de corps en caractéristique $0$ est séparable (la première +condition +de \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions} doit se +lire comme trivialement vraie en caractéristique $0$). Plus +généralement, lorsque $k$ est \emph{parfait} +(cf. \ref{definition-perfect-field}, par exemple, un corps fini), +toute extension $k \subseteq K$ est séparable +d'après \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field} (qui +généralise donc la +remarque \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}). + +Une autre condition suffisante pour que $k \subseteq K$ soit séparable +est que $K$ et $k^{\alg}$ soient linéairement disjoints au-dessus +de $k$ dans $K^{\alg}$ (il est facile de voir, en utilisant le fait +que le Frobenius est un automorphisme de $K^{\alg}$, que ceci implique +la première condition +de \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}). Ceci +s'applique lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de Zariski \emph{géométriquement} irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}, -et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}). Elle est par ailleurs -aussi vérifiée lorsque $k$ est \emph{parfait} -(d'après \ref{remark-separating-transcendence-basis-geometrically}). +et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}). + +\underline{On retiendra donc surtout ceci :} si $K = k(C)$ est le +corps des fractions d'une courbe sur un corps $k$ et qu'\emph{au moins + une} des hypothèses suivantes est satisfaite : +\begin{itemize} +\item le corps de base $k$ est parfait, +\item la courbe $C$ est géométriquement irréductible (par exemple, $C$ + est défini dans le plan par l'annulation d'un polynôme $P$ + géométriquement irréductible, c'est-à-dire irréductible + sur $k^{\alg}$, + cf. \ref{example-curve-irreducible-but-not-geometrically}, ou plus + généralement par un fermé de Zariski géométriquement irréductible, + cf. \ref{function-field-of-an-irreducible-set}), +\end{itemize} +alors l'extension $k \subseteq K$ est séparable. + +Beaucoup d'auteurs limitent la notion de « corps de fonctions de + courbe » à ceux qui sont séparables sur le corps de base, voire, les +corps de fonctions de courbes géométriquement irréductibles : on +pourrait donc en faire de même. + +\begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps séparable, et $(t_i)_{i\in + I}$ une base de transcendance séparante (i.e., telle que $K$ est +algébrique séparable sur $k(t_i)_{i\in I}$, +cf. \ref{separable-not-necessarily-algebraic-field-extensions}). +Alors $\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base +$(dt_i)_{i\in I}$. \end{prop} \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} -\thingy On retiendra surtout ceci : si $K = k(C)$ est le corps des -fractions d'une courbe sur un corps $k$ parfait ou bien définie par un -polynôme $P$ géométriquement irréductible dans le contexte -de \ref{function-field-of-a-plane-curve} (ou plus généralement par un -fermé de Zariski géométriquement irréductible), alors l'hypothèse -de \ref{differentials-of-separable-field-extension} est satisfaite, -donc : \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de +\thingy En particulier, si $K = k(C)$ est le corps des fractions d'une +courbe sur un corps $k$ parfait ou bien géométriquement irréductible, +alors \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $1$}, et une base en est donnée par n'importe quel $x\in K$ tel que $dx \neq 0$, ce qui donne du même coup un sens à -$\frac{df}{dx}$, qui est un élément de $K$, pour tout $f \in K$. +$\frac{df}{dx}$, qui est un élément de $K$, pour tout $f \in K$. + |