diff options
| -rw-r--r-- | notes-accq205.tex | 56 |
1 files changed, 56 insertions, 0 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 40231cf..15fe7e7 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -2941,6 +2941,62 @@ c'est redondant). On rappelle $Z(I)$ est dit « irréductible » lorsqu'il n'est pas réunion de deux fermés strictement plus petits. +\thingy Mentionnons encore quelques exemples de courbes rationnelles +données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}. +On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du +fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est +\textbf{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent +simultanément. +\begin{itemize} +\item La courbe d'équation $y^2 = x^3 + x^2$ sur un corps de + caractéristique $\neq 2$. (Note : le polynôme $x^3 + x^2 - y$ est + irréductible car un facteur de degré $1$ serait de la forme $x - c$ + en regardant les termes de plus haut degré, et on se convainc + facilement que cette courbe ne contient pas de droite verticale + $x=c$.) Cette courbe porte le nom standard de « cubique nodale », + et le point $(0,0)$ est y appelé un « point double ordinaire ». + (Formellement un point est un point double ordinaire de $\{P=0\}$ + avec $P$ irréductible lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent mais que + le polynôme $P''_{x,x} + P''_{x,y} u + P''_{y,y} u^2$ — qui définit + les directions des tangentes — n'a pas de zéro multiple sur la + clôture algébrique.) On peut la paramétrer rationnellement en + utilisant $t$ la pente d'une droite variable par le point double + ordinaire $(0,0)$ et en cherchant les coordonnées de son autre point + d'intersection avec la courbe : en injectant $y = tx$ dans $y^2 = + x^3 + x^2$ on trouve le paramétrage $(x,y) = (t^2-1, t^3-t)$. On + remarquera que ce paramétrage parcourt deux fois le point $(0,0)$ + (une fois pour $t=+1$ et une fois pour $t=-1$), essentiellement une + fois par direction tangente en ce point (les deux tangentes sont + $y=x$ et $y=-x$). +\item La courbe d'équation $y^2 = x^3 - x^2$ sur un corps de + caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas un carré, par + exemple le corps des réels. (De nouveau, on vérifie que ce polynôme + est irréductible.) Le point $(0,0)$ est de nouveau un « point + double ordinaire », mais cette fois ses deux tangentes ne sont pas + rationnelles (« rationnelles » au sens « définies sur $k$ »). On + peut toujours paramétrer rationnellement la courbe utilisant $t$ la + pente d'une droite variable par le point double ordinaire $(0,0)$ et + en cherchant les coordonnées de son autre point d'intersection avec + la courbe : en injectant $y = tx$ dans $y^2 = x^3 - x^2$ on trouve + le paramétrage $(x,y) = (t^2+1, t^3+t)$. On remarquera que cette + fois le point $(0,0)$ est atteint par des coordonnées qui ne sont + pas dans $k$ (à savoir $\pm\sqrt{-1}$). +\item La courbe d'équation $y^2 = x^3$ (toujours irréductible). Cette + courbe porte le nom de « cubique cuspidale » parce que le point + $(0,0)$ est un « cusp ». Le même procédé de paramétrage que + ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$ (par ailleurs trouvable + directement). Cette fois-ci, il y a bien bijection, sur n'importe + quel corps $k$, entre les solutions de $y^2 = x^3$ et les éléments + de $k$. +\end{itemize} + +Dans chacun de ces exemples, le corps $k(C)$ des fonctions de la +courbe est simplement le corps $k(t)$ (pour le paramétrage qu'on a +donné), mais le fermé de Zariski $\{P=0\}$ présente des complications +géométriques, et on pourrait se convaincre que l'anneau $k[x,y]/(P)$ +des fonctions régulières sur $\{P=0\}$ \emph{n'est pas} +l'anneau $k[t]$. + |