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diff --git a/exercices.tex b/exercices.tex index e7a50db..6d8ff3e 100644 --- a/exercices.tex +++ b/exercices.tex @@ -211,8 +211,9 @@ les paires de points qu'on a reliés pour former une droite sont distinctes, et que toutes les paires de droites qu'on a intersectées sont aussi distinctes.) +\begin{figure}[h] \begin{center} -\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=1cm] +\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=0.5cm] %% \clip(-3.43,-5.04) rectangle (4.25,0.85); %% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-1.69*\x)/-1.38}); %% \draw [domain=-3.43:4.25] plot(\x,{(-0-1.96*\x)/1.19}); @@ -268,6 +269,7 @@ sont aussi distinctes.) \end{scriptsize} \end{tikzpicture} \end{center} +\end{figure} (a) Expliquer pourquoi on peut trouver des coordonnées telles que $A=(1{:}0{:}0)$, $B=(0{:}1{:}0)$, $C=(0{:}0{:}1)$ et $O=(1{:}1{:}1)$. @@ -587,4 +589,166 @@ voulu sur le discriminant, et donne bien une similitude directe. % % % + +\exercice + +Si $\ell$ est une droite de $\mathbb{P}^2$ (sur un corps quelconque), +on note $\ell^*$ le point correspondant du $\mathbb{P}^2$ +dual\footnote{Si on veut être tout à fait formel : si $V = k^3$ où $k$ + est le corps de base, et si $V^*$ est l'espace vectoriel « dual » + des formes $k$-linéaires sur $V$, et si la droite $\ell$ de + $\mathbb{P}^2 := \mathbb{P}(V)$ est définie par une équation + $\varphi_\ell = 0$ où $\varphi_\ell$ est une forme $k$-linéaire + sur $V$, alors $\ell^*$ est le point de $\mathbb{P}^{2*} := + \mathbb{P}(V^*)$ défini par la classe de $\varphi_\ell$ modulo la + relation « être colinéaire ». Ou, en termes de coordonnées, si + $\ell$ est la droite $[u_\ell:v_\ell:w_\ell]$ définie par une + équation $u_\ell x + v_\ell y + w_\ell z = 0$ sur le $\mathbb{P}^2$ + de coordonnées $(x:y:z)$, alors $\ell^*$ est le point + $(u_\ell:v_\ell:w_\ell)$ du $\mathbb{P}^2$ dit « dual », + $\mathbb{P}^{2*}$, de coordonnées $(u:v:w)$.} qu'on pourra noter +$\mathbb{P}^{2*}$. + +On fixe un point $O$ de $\mathbb{P}^2$. + +(1) Rappeler pourquoi les points $\ell^*$ où $\ell$ est une droite +passant par $O$ dans $\mathbb{P}^2$, forment une droite de +$\mathbb{P}^{2*}$, qu'on pourra noter $O^*$. + +(2) Si $m$ est une droite de $\mathbb{P}^2$ ne passant pas par $O$, +expliquer pourquoi l'application $m \to O^*$ envoyant un point $P$ +de $m$ vers $(OP)^*$ est une bijection de réciproque l'application +$O^* \to m$ envoyant $\ell^*$ sur le point d'intersection $\ell\wedge +m$ de $\ell$ et $m$, et pourquoi ces bijections sont des +transformations projectives (une fois identifiées les droites $m$ +et $O^*$ à $\mathbb{P}^1$). + +(3) En déduire que, si $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ sont quatre +droites distinctes concourantes en $O$, et $A,B,C,D$ les points +d'intersection respectifs de $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ avec une +même droite $m$ ne passant pas par $O$, le birapport $(A,B;C,D)$ de +ces quatre points est égal au birapport +$(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ des quatre points +correspondant à $\ell_a,\ell_b,\ell_c,\ell_d$ sur $O^*$. + +(4) En déduire le fait suivant : si $A,B,C,D$ sont quatre points +distincts de $\mathbb{P}^2$ tous alignés sur une droite $m$, et $O$ +non situé sur $m$, et si $m'$ est une droite distincte de $m$ et ne +passant pas par $O$, alors en appelant $A' = m' \wedge OA$ +l'intersection de $m'$ avec la droite $OA$ et de même pour $B',C',D'$, +le birapport $(A',B';C',D')$ (sur $m'$) est égal au birapport +$(A,B;C,D)$ (sur $m$). + +\begin{figure}[h] +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[line cap=round,line join=round,x=1.0cm,y=1.0cm,extended line/.style={shorten >=-#1,shorten <=-#1},extended line/.default=0.5cm] +%% \clip(-4.19,-0.2) rectangle (2.99,5.28); +%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--3.61-0.24*\x)/2.12}); +%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(-9.08-2.44*\x)/-1.58}); +%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--0.08-2.68*\x)/0.54}); +%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--3.56-2.77*\x)/1.34}); +%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--8.3-2.9*\x)/2.44}); +%% \draw [domain=-4.19:2.99] plot(\x,{(--2.13--0.34*\x)/3.46}); +\begin{scriptsize} +\coordinate (O) at (-0.86,4.42); +\coordinate (A) at (-2.44,1.98); +\coordinate (B) at (-0.32,1.74); +\coordinate (C) at (0.48,1.65); +\coordinate (D) at (1.58,1.52); +\coordinate (Aprime) at (-3.55,0.27); +\coordinate (Bprime) at (-0.09,0.61); +\coordinate (Cprime) at (0.94,0.71); +\coordinate (Dprime) at (2.17,0.83); +\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Aprime); +\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Bprime); +\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Cprime); +\draw[extended line=0.5cm] (O)--(Dprime); +\draw[color=black!50!red,extended line=0.5cm] (A)--(D); +\draw[color=black!50!orange,extended line=0.5cm] (Aprime)--(Dprime); +\fill [color=blue] (O) circle (1.5pt); +\draw[color=blue] (-0.76,4.58) node {$O$}; +\fill [color=red] (A) circle (1.5pt); +\draw[color=red] (-2.34,2.14) node {$A$}; +\fill [color=red] (B) circle (1.5pt); +\draw[color=red] (-0.22,1.91) node {$B$}; +\fill [color=red] (C) circle (1.5pt); +\draw[color=red] (0.58,1.81) node {$C$}; +\fill [color=red] (D) circle (1.5pt); +\draw[color=red] (1.68,1.68) node {$D$}; +\fill [color=orange] (Aprime) circle (1.5pt); +\draw[color=orange] (-3.43,0.43) node {$A'$}; +\fill [color=orange] (Bprime) circle (1.5pt); +\draw[color=orange] (0.02,0.76) node {$B'$}; +\fill [color=orange] (Cprime) circle (1.5pt); +\draw[color=orange] (1.05,0.86) node {$C'$}; +\fill [color=orange] (Dprime) circle (1.5pt); +\draw[color=orange] (2.29,0.99) node {$D'$}; +\end{scriptsize} +\end{tikzpicture} +\end{center} +\end{figure} + +\begin{corrige} +(1) En termes d'algèbre linéaire, on affirme que l'ensemble des formes + linéaires sur $V$ (ici $V = k^3$) s'annulant en un vecteur $v$ non + nul fixé de $V$ (représentant le point $O$) forme un hyperplan dans + l'espace vectoriel dual $V^*$ des formes linéaires sur $V$. C'est + une conséquence du fait que $\varphi \mapsto \varphi(v)$ est une + forme linéaire non nulle sur $V^*$, ce qui est immédiat à vérifier. + Si on préfère le dire en termes de coordonnées : le fait que $\ell$ + d'équation $u_\ell x + v_\ell y + w_\ell z = 0$ passe par $O$ se + traduit par une relation $u_\ell x_O + v_\ell y_O + w_\ell z_O = 0$ + soit $x_O u_\ell + y_O v_\ell + z_O w_\ell = 0$ linéaire entre les + coordonnées $(u_\ell:v_\ell:w_\ell)$ de $\ell^*$, qui définit donc + une droite $[x_O : y_O : z_O] =: O^*$ de $\mathbb{P}^{2*}$. + +(2) Le fait que $\varphi \colon m \to O^*, P \mapsto (OP)^*$ et $\psi + \colon O^* \to m, \ell^* \mapsto \ell\wedge m$ soient des bijections + réciproques est une conséquence immédiate du fait que deux points + déterminent une unique droite (en l'occurrence $O$ et $P$ + déterminent $\ell$) et que deux droites se coupent en un unique + point (en l'occurrence $m$ et $\ell$ déterminent $P$). La question + cruciale, cependant, est de savoir s'il s'agit bien d'une + transformation projective, c'est-à-dire si $\varphi$ et $\psi$ + proviennent d'applications \emph{linéaires}. Mais c'est une + conséquence, pour $\varphi$, des formules donnant les coefficients + $[u:v:w]$ d'une équation ($ux+vy+wz=0$) de la droite reliant + $O$ et $P$ en fonction de coordonnées $(x_O:y_O:z_O)$ de $O$ et + $(x_P:y_P:z_P)$ de $P$, à savoir : $u = y_O z_P - z_O y_P$ et $v = + z_O x_P - x_O z_P$ et $w = x_O y_P - y_O x_P$ ; et pour $\psi$, des + formules donnant des coordonnées homogènes $(x:y:z)$ du point + d'intersection de $\ell$ et $m$ en fonction de coefficients des + équations $[u_\ell:v_\ell:w_\ell]$ de $\ell$ et $[u_m:v_m:w_m]$ + de $m$, à savoir : $x = v_\ell w_m - w_\ell v_m$ et $y = w_\ell u_m + - u_\ell w_m$ et $z = u_\ell v_m - v_\ell u_m$ ; le point crucial + est que ces deux formules sont \emph{linéaires}, la première en + $(x_P,y_P,z_P)$ et la seconde en $(u_m,v_m,w_m)$. + +(3) On a défini deux transformations projectives réciproques $\varphi + \colon m \to O^*, P \mapsto (OP)^*$ et $\psi \colon O^* \to m, + \ell^* \mapsto \ell\wedge m$. En tant que telles, elles préservent + le birapport : on en déduit que + $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ est égal à + $(\psi(\ell^*_a),\psi(\ell^*_b);\psi(\ell^*_c),\psi(\ell^*_d))$, + c'est-à-dire $(A,B;C,D)$ par définition de ces quatre points. + +(4) On a vu à la question précédente que le birapport $(A,B;C,D)$ + coïncide avec $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ où $\ell_a = + OA$ et ainsi de suite. Mais $(A',B';C',D')$ coïncide aussi avec + $(\ell^*_a,\ell^*_b;\ell^*_c,\ell^*_d)$ puisque $\ell_a = OA'$ et + ainsi de suite. Ces deux quantités sont donc égales. + +(Si on préfère le dire ainsi : l'application $m \mapsto m'$ envoyant + un point $P$ de $m$ sur l'intersection $P' = m' \wedge OP$ de $m'$ + avec la droite $OP$ et une transformation projective pour exactement + les mêmes raisons qu'en (2) à savoir la linéarité des formules + calculant la droite reliant deux points et l'intersection de deux + droites : elle préserve donc le birapport, ce qui montre $(A,B;C,D) + = (A',B';C',D')$.) +\end{corrige} + + +% +% +% \end{document} |