diff options
| -rw-r--r-- | exercices-courbes.tex | 205 |
1 files changed, 205 insertions, 0 deletions
diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex new file mode 100644 index 0000000..b6c149b --- /dev/null +++ b/exercices-courbes.tex @@ -0,0 +1,205 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[francais]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Tout} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallbreak\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercice{% +\refstepcounter{comcnt}\bigbreak\noindent\textbf{Exercice~\thecomcnt.}} +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} +\newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\sep}{\operatorname{sep}} +\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} +\newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} +\newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} +\newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} +\newcommand{\divis}{\operatorname{div}} +\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\DeclareFontFamily{U}{manual}{} +\DeclareFontShape{U}{manual}{m}{n}{ <-> manfnt }{} +\newcommand{\manfntsymbol}[1]{% + {\fontencoding{U}\fontfamily{manual}\selectfont\symbol{#1}}} +\newcommand{\dbend}{\manfntsymbol{127}}% Z-shaped +\newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% + \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\relax\else\egroup\fi\par} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{Exercices courbes algébriques — Corrigé} +\else +\title{Exercices courbes algébriques} +\fi +\author{David A. Madore} +\maketitle + +\centerline{\textbf{ACCQ205}} + +{\footnotesize +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +\begin{center} +Git: \input{vcline.tex} +\end{center} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + + +% +% +% + +\exercice + +Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2,3$, et soient $a,b\in k$. + +(1) Donner une condition sur $a,b$ nécessaire et suffisante pour que +le polynôme $x^3 + ax + b \in k[x]$ soit séparable (c'est-à-dire, +premier avec sa dérivée, ou encore, sans racine multiple +dans $k^{\alg}$). + +\begin{corrige} +La dérivée de $f := x^3 + ax + b$ est $f' = 3x^2 + a$. Leur résultant +(i.e., le discriminant de $f$) est donc égal au déterminant de la +matrice de Sylvester +\[ +\begin{pmatrix} +1&0&a&b&0\\ +0&1&0&a&b\\ +3&0&a&0&0\\ +0&3&0&a&0\\ +0&0&3&0&a\\ +\end{pmatrix} +\] +c'est-à-dire $\Delta := 4a^3 + 27b^2$ (en écrivant le déterminant de +la matrice $(c_{i,j})$ où $i$ est l'indice de la ligne et $j$ celui de +la colonne comme $\sum_{\sigma\in\mathfrak{S}_5} +\mathop{\mathrm{sgn}}(\sigma) \prod_{i=1}^5 c_{i,\sigma(i)}$ on trouve +ici $1\cdot 1\cdot a\cdot a\cdot a - 1\cdot a\cdot a\cdot 3\cdot a - +a\cdot 1\cdot 3\cdot a\cdot a + a\cdot a\cdot 3\cdot 3\cdot a + b\cdot +b\cdot 3\cdot 3\cdot 3 = (1-3-3+9)a^3 + 27 b^2$). +\end{corrige} + +\smallbreak + +(2) Soit $h := y^2 - x^3 - ax - b \in k[x,y]$. Montrer que $h$ est +irréductible (on pourra le considérer comme un élément de $k(x)[y]$) +et même géométriquement irréductible. + +\begin{corrige} +On peut voir $h$ dans $k(x)[y]$, il est de la forme $y^2 - f$ avec $f +:= x^3 + ax + b \in k(x)$. Pour montrer qu'il est irréductible dans +$k(x)[y]$, il suffit de montrer que $f$ n'est pas un carré +dans $k(x)$ : ceci impliquera alors que $h$ est encore irréductible +dans $k[x,y]$ d'après le lemme de Gauß (le pgcd dans $k[x]$ des +coefficients de $h\in k[x][y]$ étant évidemment $1$ puisque le +coefficient de $y^2$ est $1$). Or $f$ n'est pas un carré dans $k(x)$, +car il en serait un dans $k[x]$ (grâce à la décomposition en facteurs +irréductibles), et son degré serait pair. + +Comme le raisonnement qu'on vient de faire ne dépend pas de $k$, il +est encore valable dans $k^{\alg}$, c'est-à-dire que $h$ est +géométriquement irréductible. +\end{corrige} + +\smallbreak + +On pose $A := k[x,y]/(h)$ (anneau intègre d'après la question (2)) et +$K := \Frac(A) = k(x,y : h=0)$ le corps des fonctions de la courbe +plane $E$ d'équation $h = 0$. Qyand le contexte est clair, on se +permettra de noter simplement $x,y$ les éléments $\bar x,\bar y$ de +$A$, ou de $K$, qui sont les classes modulo $h$ des +indéterminées $x,y$ de $k[x,y]$. + +(3) Montrer que si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, on a +$v(x) < 0$ si et seulement si $v(y) < 0$. Montrer qu'il existe au +plus une valuation vérifiant ces conditions : que valent exactement +$v(x)$ et $v(y)$ ? Montrer qu'une telle valuation existe bien. On +appellera cette place « point à l'infini » de $E$. + +\begin{corrige} +Si $v$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$ telle que $r := v(x) +< 0$ alors $v(x^3 + ax + b) = 3r$, c'est-à-dire $v(y^2) = 3r$, donc +$v(y) = \frac{3}{2}r < 0$. Réciproquement, si $v(y) < 0$ alors +$v(y^2) < 0$ donc $v(x^3 + ax + b) < 0$ et ceci interdit $v(x) \geq 0$ +(car on aurait alors $v(x^3 + ax + b) \geq 0$). Les hypothèses +$v(x)<0$ et $v(y)<0$ sont donc équivalentes. Par ailleurs, la donnée +de $r = v(x)$ détermine $v$ sur $k[x]$ (c'est $r$ fois le degré) donc +sur $k(x)$ (c'est $r$ fois la valuation usuelle en l'infini +sur $k(x)$). + +Un élément de $K = k(x)[y]/(h)$ s'écrit sous la forme $g_0 + g_1 y$ +(par division euclidienne par $h$ dans $k(x)[y]$), et comme $v(g_1 y) += \frac{3}{2}r + v(g_1)$ n'est pas un multiple entier de $r$ donc pas +égal à la valuation d'un élément de $k(x)$, la valuation de $g_0 + g_1 +y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les +termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des +valuations des termes). Bref, on a complètement caractérisé $v$, à la +donnée de $r$ près. Mais puisque l'image de $v$ doit être $\mathbb{Z} +\cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $r = 2$, +c'est-à-dire $v(x) = -2$ et $v(y) = -3$. Enfin, on constate que ceci +définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main, +soit en invoquant le théorème d'existence des valuations appliqué à +l'anneau $k(x)[\frac{1}{y}]$ des polynômes en $\frac{1}{y}$ +sur $k(x)$, de corps des fractions $K$, et à son idéal premier +engendré par $\frac{1}{y}$, pour affirmer que $K$ doit avoir une +valuation positive sur $k(x)[\frac{1}{y}]$ et strictement positive +en $\frac{1}{y}$). +\end{corrige} + +\smallbreak + +\emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est + satisfaite.} + + + +% +% +% +\end{document} |