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diff --git a/controle-20250416.tex b/controle-20250416.tex new file mode 100644 index 0000000..b382d2b --- /dev/null +++ b/controle-20250416.tex @@ -0,0 +1,466 @@ +%% This is a LaTeX document. Hey, Emacs, -*- latex -*- , get it? +\documentclass[12pt,a4paper]{article} +\usepackage[a4paper,margin=2.5cm]{geometry} +\usepackage[french]{babel} +\usepackage[utf8]{inputenc} +\usepackage[T1]{fontenc} +%\usepackage{ucs} +\usepackage{times} +% A tribute to the worthy AMS: +\usepackage{amsmath} +\usepackage{amsfonts} +\usepackage{amssymb} +\usepackage{amsthm} +% +\usepackage{mathrsfs} +\usepackage{wasysym} +\usepackage{url} +% +\usepackage{graphics} +\usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} +\usepackage{tikz} +\usetikzlibrary{matrix,calc} +\usepackage{hyperref} +% +%\externaldocument{notes-accq205}[notes-accq205.pdf] +% +\theoremstyle{definition} +\newtheorem{comcnt}{Whatever} +\newcommand\thingy{% +\refstepcounter{comcnt}\smallskip\noindent\textbf{\thecomcnt.} } +\newcommand\exercise{% +\refstepcounter{comcnt}\bigskip\noindent\textbf{Exercise~\thecomcnt.}\par\nobreak} +\let\exercice=\exercise +\renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} +%\renewcommand{\thefootnote}{\fnsymbol{footnote}} +% +\newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +\newcommand{\norm}{\operatorname{N}} +% +\DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} +\DeclareUnicodeCharacter{A76B}{z} +% +\DeclareMathSymbol{\tiret}{\mathord}{operators}{"7C} +\DeclareMathSymbol{\traitdunion}{\mathord}{operators}{"2D} +% +\newcommand{\spaceout}{\hskip1emplus2emminus.5em} +\newif\ifcorrige +\corrigetrue +\newenvironment{corrige}% +{\ifcorrige\relax\else\setbox0=\vbox\bgroup\fi% +\smallbreak\noindent{\underbar{\textit{Corrigé.}}\quad}} +{{\hbox{}\nobreak\hfill\checkmark}% +\ifcorrige\par\smallbreak\else\egroup\par\fi} +% +% +% +\begin{document} +\ifcorrige +\title{FMA-4AC05-TP / ACCQ205\\Contrôle de connaissances — corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\else +\title{FMA-4AC05-TP / ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\fi +\author{} +\date{2025-04-16} +\maketitle + +\pretolerance=8000 +\tolerance=50000 + +\vskip1truein\relax + +\noindent\textbf{Instructions.} + +Les exercices sont indépendants sauf dans la mesure où le contraire +est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais +on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies +où commence chaque exercice. + +La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les exercices ont été +formulés de manière à rappeler le contexte et certaines notions du +cours, si bien que les réponses attendues sont souvent plus courtes +que les questions. + +\medbreak + +L'usage de tous les documents (notes de cours manuscrites ou +imprimées, feuilles d'exercices, livres) est autorisé. + +L'usage des calculatrices électroniques est interdit. + +Les réponses peuvent être écrites en français ou en anglais. + +\ifcorrige +Ce corrigé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse). +\else +Cet énoncé comporte \textcolor{red}{XXX} pages (page de garde incluse). +\fi + +\vfill +{\noindent\tiny +\immediate\write18{sh ./vc > vcline.tex} +Git: \input{vcline.tex} +\immediate\write18{echo ' (stale)' >> vcline.tex} +\par} + +\pagebreak + +% +% +% + +\exercice + +Soit $k$ un corps de caractéristique $\neq 2,3$, et $C$ la variété +algébrique d'équation +\[ +x^3 + y^3 + z^3 = 0 +\] +dans $\mathbb{P}^2$ de coordonnées $(x{:}y{:}z)$ sur $k$. + +(1) Montrer que $\frac{\partial f}{\partial x}$, $\frac{\partial + f}{\partial y}$ et $\frac{\partial f}{\partial z}$, où $f := x^3 + +y^3 + z^3$, n'ont pas de zéro commun dans $\mathbb{P}^2$. On rappelle +que ceci nous permet de conclure que $C$ est une courbe (plane). + +(2) Quels sont les points géométriques de $C$ situés la droite +$\{z=0\}$ ? On pourra noter $\omega$ une racine primitive cubique de +l'unité dans la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$. Par symétrie, +on donnera aussi les points géométriques de $C$ sur les droites +$\{x=0\}$ et $\{y=0\}$. + +(3) Quelle est l'équation affine de la partie de $C$ située dans +l'espace affine $\mathbb{A}^2$ complémentaire de la droite $\{z=0\}$ +dans $\mathbb{P}^2$ ? On appellera $u,v$ les coordonnées affines sur +ce $\mathbb{A}^2$, qu'on exprimera par rapport aux coordonnées +homogènes $x,y,z$ sur $\mathbb{P}^2$. + +(4) Calculer la droite tangente à $C$ au point $(0{:}-1{:}1)$. Quel +est l'ordre d'annulation la fonction $\frac{x}{z}$ en ce point ? En +déduire quel est l'ordre d'annulation de la fonction $\frac{y}{z}+1$ +en ce point. (On recommande de faire les calculs dans $\mathbb{A}^2$, +et éventuellement de faire une translation pour se ramener à l'origine +de $\mathbb{A}^2$.) + +(5) Quels sont les diviseurs principaux associés aux fonctions +rationnelles $\frac{x}{z}$ et $\frac{y}{z}+1$ sur $C$ ? On vérifiera +que le degré est bien ce qu'il doit être. + + +% +% +% + +\exercice + +Soit $K = k(C)$ le corps de fonctions\footnote{I.e., le corps des +fonctions rationnelles sur $C$.} d'une courbe $C$ sur un corps $k$. +Soit $P$ un point géométrique de $C$. Pour $f \in K$, on notera $v(f) +:= \ord_P(f)$ l'ordre d'annulation de $f$ en $P$ (aussi appelé +« valuation » de $f$ en $P$). + +On rappelle que $v \colon K \to \mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$ vérifie +notamment les propriétés suivantes : +\begin{itemize} +\item $v(f) = +\infty$ ssi $f=0$, et $v(c)=0$ si $c\in k^\times$ ; +\item $v(f+g) \leq \min(v(f),v(g))$ avec égalité si $v(f)\neq v(g)$ ; +\item $v(fg) = v(f)+v(g)$. +\end{itemize} + +\smallskip + +Soit $z \in K$ une uniformizante en $P$ (autrement dit, $v(z) = 1$). +Soit enfin $d \geq 2$ un entier naturel. + +On cherche à montrer que la variété algébrique projective définie dans +$\mathbb{P}^{d-1}$ de coordonnées homogènes $(x_0{:}\cdots{:}x_{d-1})$ +par l'équation +\[ +x_0^d + z x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0 +\] +n'a pas de $K$-point, c'est-à-dire que l'équation ci-dessus +(algébrique homogène de degré $d$ en $d$ +indéterminées\footnote{Attention, $z$ est un élément de $K$, ce n'est +pas une indéterminée !} $x_0,\ldots,x_{d-1}$) n'a pas de solution +dans $K$ autre que $(0,\ldots,0)$. + +\smallskip + +Pour cela, on va raisonner sur la valuation $v(x_j)$ des $x_j$ : +expliquer pourquoi, si $x \in K^\times$ alors $v(z^i x^d)$ est congru +à $i$ modulo $d$ ; en déduire que deux termes de la somme $x_0^d + z +x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d$ n'ont jamais la même +valuation, et conclure. + +\smallskip + +On pourra au préalable prouver l'affirmation suivante : si dans la +somme $g_1 + \cdots + g_m$ d'éléments de $K$ un des termes a une +valuation \emph{strictement plus petite} que tous les autres, alors la +somme n'est pas nulle. + +\begin{corrige} +On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un +multiple de $d$. Par conséquent, $v(z^i x^d) = i + d\,v(x)$ est +congru à $i$ modulo $d$. Par conséquent, dans la somme $x_0^d + z +x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d$, il est impossible que +deux termes aient la même valuation (puisqu'elles sont congrues à des +valeurs différentes modulo $d$) sauf si cette valuation est $\infty$, +c'est-à-dire que les termes sont nuls. Donc dès lors que tous les +termes ne sont pas nuls, il y en a un qui a une valuation +\emph{strictement} plus petite que tous les autres. La somme ne peut +pas être nulle, ce qui prouve le résultat voulu. +\end{corrige} + + +% +% +% + +\exercice + +Dans cet exercice, on \emph{admet} le résultat suivant. Soit $k$ un +corps \emph{algébriquement clos}, soient $n \geq m$ des entiers +naturels, et soient $f_1,\ldots,f_m \in k[t_0,\ldots,t_n]$ des +polynômes \emph{homogènes} de degrés\footnote{Non supposés égaux.} +tous $\geq 1$ en les indéterminées $t_0,\ldots,t_n$. +Alors\footnote{L'explication intuitive est que chaque polynôme $f_j$ +fait tomber la dimension d'au plus $1$ et comme on part de +$\mathbb{P}^n$ qui est de dimension $n$ et qu'on considère $m\leq n$ +polynômes, il reste forcément quelque chose à la fin.} la variété +algébrique projective $Z_{\mathbb{P}^n}(f_1,\ldots,f_m)$ définie dans +$\mathbb{P}^n$ par les équations $f_1 = \cdots = f_m = 0$ n'est pas +vide, c'est-à-dire que $f_1,\ldots,f_m$ ont un zéro commun autre que +le zéro trivial $(0,\ldots,0)$. + +\smallskip + +Soit maintenant $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, et soit $K$ +le corps de fonctions d'une courbe $C$ sur $k$ (dans les questions +(1) et (2), on supposera même que cette courbe est $\mathbb{P}^1$). + +\smallskip + +On considère $f \in K[t_0,\ldots,t_n]$ un polynôme \emph{homogène} en +les indéterminées $t_0,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie $0 +< d \leq n$. Le but de l'exercice est de montrer que la variété +algébrique projective $Z_{\mathbb{P}^n}(f)$ définie dans +$\mathbb{P}^n$ de coordonnées homogènes $(x_0{:}\cdots{:}x_n)$ par +l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, a un $K$-point, c'est-à-dire que +l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution avec +$(x_0,\ldots,x_n$ dans $K$ qui soit non-triviale, i.e. différente +de $(0,\ldots,0)$. + +\smallbreak + +(1) \emph{Dans un premier temps,} on suppose que $K$ est simplement +égal au corps $k(z)$ des fractions rationnelles en une +indéterminée $z$, et on suppose de plus que $f$, qui \textit{a priori} +vit dans $k(z)[t_0,\ldots,t_n]$, est en fait dans +$k[z,t_0,\ldots,t_n]$ (et toujours de degré $0<d\leq n$ en +$t_0,\ldots,t_n$). On cherche une solution $(x_0,\ldots,x_n)$ de +$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, où les $x_i$ soient dans $k[z]$ (et non tous +nuls). On va écrire $x_i = \sum_{j=0}^N c_{i,j} z^j$ où les $c_{i,j} +\in k$ sont des coefficients indéterminés et où $N$ est un entier. + +\phantom{(1)}(a) Expliquer pourquoi la condition $f(x_0,\ldots,x_n) = +0$ recherchée se traduit sous la forme d'un système d'équations +algébriques en les $c_{i,j}$, toutes homogènes. On ne demande pas +d'écrire ce système, mais on précisera au moins clairement le nombre +d'équations, leur degré, et le nombre de variables ; on pourra appeler +$\delta$ le degré de $f$ en la variable $z$, et raisonner sur degré en +$z$ et le degré total en les $c_{i,j}$ d'un terme $a_{r_0,\ldots,r_n} +x_0^{r_0} \cdots x_n^{r_n}$ de $f(x_0,\ldots,x_n)$. + +\phantom{(1)}(b) En utilisant le résultat admis, montrer ensuite que +ce système a, en effet, une solution en les $c_{i,j}$ si $N$ est assez +grand. + +\begin{corrige} +Disons qu'on ait +\[ +f(t_0,\ldots,t_n) = \sum_{r_0+\cdots+r_n=d} +a_{r_0,\ldots,r_n} t_0^{r_0}\cdots t_n^{r_n} +\] +où on a fait l'hypothèse que les coefficients $a_{\underline{r}}$ sont +dans $k[z]$. Soit $\delta$ le plus grand de leurs degrés, qui est +donc le degré de $f$ en la variable $z$. Comme suggéré par l'énoncé, +on cherche un zéro non-trivial dans $(k[z])^n$ par la méthode des +coefficients indéterminés, en écrivant chaque $x_i$ (pour $i$ allant +de $1$ à $n$) comme un polynôme de degré $\leq N$ en $z$, à savoir +$x_i = \sum_{j=0}^N c_{i,j} z^j$. + +Considérons une expression de la forme $x_0^{r_0} \cdots x_n^{r_n}$ : +si on la développe complètement, elle est un polynôme en $z$ de degré +au plus $N(r_0+\cdots+r_n)$ (puisque chaque $x_i$ est un polynôme +en $z$ de degré $\leq N$) ; et elle est homogène de degré total +$r_0+\cdots+r_n$ en les $c_{i,j}$ (puisqu'un produit de polynômes +homogènes est un polynôme homogène de la somme des degrés totaux), au +sens où le coefficient devant chaque puissance de $z$ est homogène de +degré total $r_0+\cdots+r_n$ en les $c_{i,j}$. Concernant +$a_{r_0,\ldots,r_n} x_0^{r_0} \cdots x_n^{r_n}$, si +$r_0+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est de degré $\leq N d + +\delta$ en $z$, et (que son coefficient de chaque puissance de $z$ +est) homogène de degré $d$ en les $c_{i,j}$. Il en va donc de même de +la somme $f(x_0,\ldots,x_n)$ des $a_{r_0,\ldots,r_n} x_0^{r_0} \cdots +x_n^{r_n}$. + +On en déduit que l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ se traduit, en +exprimant la nullité du coefficient devant chaque $z^j$, comme un +système d'équations homogènes de degré $d$ en les $c_{i,j'}$. Le +nombre d'équations est donné par le nombre de coefficients de $z$ à +écrire, soit $1$ de plus que la borne trouvée sur le degré en $z$, +bref $N d + \delta + 1$. Enfin, le nombre de variables est le nombre +de $c_{i,j}$, c'est-à-dire $(n+1)\,(N+1)$. + +Si on tient absolument à écrire le système, ce qui n'était pas +demandé, c'est : +\[ +(\forall j)\; +\sum_{\mathop{}^{s_{1,0}+\cdots+s_{n,N}=d}_{s_{1,1}+\cdots+N s_{n,N}+\rho=j}} +\frac{\scriptstyle(\Sigma s_{1,\bullet})!\cdots + (\Sigma s_{n,\bullet})!}{\scriptstyle s_{1,0}!\cdots s_{n,N}!}\, +a_{(\Sigma s_{1,\bullet}),\ldots,(\Sigma s_{n,\bullet});\rho}\, +c_{1,0}^{s_{1,0}}\cdots c_{n,N}^{s_{n,N}} += 0 +\] +où $\Sigma s_{i,\bullet}$ désigne $s_{i,0}+\cdots+s_{i,N}$ et +$a_{r_0,\ldots,r_n;\rho}$ est le coefficient de $z^\rho$ dans le polynôme +$a_{r_0,\ldots,r_n} \in k[z]$, et où $j$ parcourt les entiers de $0$ à +$N d + \delta$. + +Bref, on a un système de $N d + \delta + 1$ équations, chacune +homogène de degré total $d$, en $(n+1)\,(N+1) = N n + N + n + 1$ +variables. Puisque $d\leq n$, on a $N d + \delta + 1 \leq N n + N + +n$ lorsque $N$ est assez grand. On conclut d'après le résultat admis +que le système a une solution avec les $c_{i,j}$ non tous nuls, +c'est-à-dire les $x_i$ non tous nuls. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(2) On suppose toujours que $K = k(z)$. On a montré en (1) que si $f +\in k[z,t_0,\ldots,t_n]$ alors $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution +non-triviale (dans $(k[z])^n$, donc dans $K^n$). En déduire que si $f +\in k(z)[t_0,\ldots,t_n]$ alors $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a encore une +solution non-triviale dans $K^n$. + +\begin{corrige} +Il suffit de chasser les dénominateurs. Plus précisément, si $f \in +k(z)[t_0,\ldots,t_n]$, soit $q \in k[z]$ un dénominateur commun à tous +les coefficients $a_{r_0,\ldots,r_n}$ de $f$ (en les variables +$t_0,\ldots,t_n$). Alors $q\,f \in k[z,t_0,\ldots,t_n]$, et comme on +a vu en (1) que l'équation $q\,f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution +non-triviale, cette solution en est aussi une de +l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(3) Dans cette question (indépendante des précédentes), on suppose que +$K_0 \subseteq K$ est une extension de corps de degré $\ell := [K : + K_0]$ fini. On rappelle que cela signifie que $K$ est de +dimension $\ell$ en tant que $K_0$-espace vectoriel. Soit +$e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme $K_0$-espace vectoriel. + +Lorsque $w \in K$, on notera $\mathbf{M}(w)$ la matrice $\ell\times +\ell$ à coefficients dans $K_0$ qui représente l'application $K \to K, +\penalty0\; y\mapsto w\cdot y$ de multiplication par $w$ (vue comme +une application $K_0$-linéaire du $K_0$-espace vectoriel $K$ de +dimension $\ell$), sur la base $e_1,\ldots,e_\ell$, et on notera +$\norm(w) := \det(\mathbf{M}(w))$ son déterminant (c'est donc un +élément de $K_0$).\spaceout (a) Expliquer pourquoi $\mathbf{M}(ww') = +\mathbf{M}(w)\, \mathbf{M}(w')$ si $w,w'\in K$, pourquoi $\norm(ww') = +\norm(w)\, \norm(w')$, et pourquoi $\norm(w) = 0$ si et seulement +si $w=0$.\spaceout (b) Expliquer pourquoi si $w = \sum_{j=1}^\ell w_j +e_j$ avec $w_j \in K_0$, alors les coefficients de $\mathbf{M}(w)$ +s'écrivent comme des combinaisons $K_0$-linéaires des $w_j$, et +pourquoi $\norm(w)$ s'écrit comme un polynôme homogène de degré $\ell$ +en $w_1,\ldots,w_\ell$. + +\begin{corrige} +(a) On a $\mathbf{M}(ww') = \mathbf{M}(w)\,\mathbf{M}(w')$ car la + multiplication par $ww'$ est la composée, dans n'importe quel ordre, + de celle par $w$ et de celle par $w'$. L'identité $\norm(ww') = + \norm(w)\, \norm(w')$ s'en déduit par la multiplicativité du + déterminant. On en déduit que $\norm(w)\, \norm(w') = 1$ si $w'$ + est l'inverse de $w$, et donc que $\norm(w) \neq 0$ si $w \neq 0$ + (l'autre implication est triviale). + +(b) Si $w = \sum_{j=1}^\ell w_j e_j$ alors on a $\mathbf{M}(w) = + \sum_{j=1}^\ell w_j E_j$, où on a noté $E_j := \mathbf{M}(e_j)$ : + comme $E_j$ est une certaine matrice $\ell\times \ell$ à + coefficients dans $K_0$, ceci montre bien que les coefficients de + $\mathbf{M}(w)$ s'écrivent comme des combinaisons $K_0$-linéaires + des $w_j$. Comme le déterminant d'une matrice $\ell\times \ell$ est + un polynôme homogène de degré $\ell$ en les coefficients de la + matrice, on en déduit que $\norm(w)$ s'écrit comme un polynôme + homogène de degré $\ell$ en $w_1,\ldots,w_\ell$. +\end{corrige} + +\smallbreak + +(4) On suppose maintenant que $K$ est le corps de fonctions d'une +courbe quelconque sur $k$. On rappelle (ou on admet...) que, si $z$ +est élément non constant quelconque de $K$, alors $z$ est transcendant +sur $k$, c'est-à-dire qu'on peut considérer $K_0 := k(z)$ corps le +corps des fractions rationnelles en une indéterminée ; et que $K$ est +alors une extension de corps de degré $\ell := [K : K_0]$ fini. + +On reprend les notations $\mathbf{M}(w)$ et $\norm(w)$ de la +question (3), en appelant $e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme +$K_0$-espace vectoriel. + +Soit $f \in K[t_0,\ldots,t_n]$ (toujours de degré total $0<d\leq n$ en +$t_0,\ldots,t_n$). On va écrire $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$ +où les $x_{i,j} \in K_0$ sont des coefficients indéterminés. +Expliquer pourquoi la condition $\norm(f(x_0,\ldots,x_n)) = 0$ se +traduit sous la forme d'une équation algébrique homogène de degré $d +\ell$ en $(n+1) \ell$ indéterminées. En déduire qu'elle a une +solution non-triviale. Conclure. + +\begin{corrige} +Disons qu'on ait +\[ +f(t_0,\ldots,t_n) = \sum_{r_0+\cdots+r_n=d} +a_{r_0,\ldots,r_n} t_0^{r_0}\cdots t_n^{r_n} +\] +les coefficients $a_{\underline{r}}$ sont dans $K$. Comme suggéré par +l'énoncé, on cherche un zéro non-trivial dans $K^n$ par la méthode des +coefficients indéterminés, en écrivant chaque $x_i$ (pour $i$ allant +de $1$ à $n$) comme $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$. + +Considérons une expression de la forme $\mathbf{M}(x_0^{r_0} \cdots +x_n^{r_n}) = \mathbf{M}(x_0)^{r_0} \cdots \mathbf{M}(x_n)^{r_n}$ : +d'après la question (3)(b), les coefficients de chaque +$\mathbf{M}(x_i)$ sont des combinaisons $K_0$-linéaires des $x_{i,j}$ +(pour ce $i$), donc les coefficients du produits sont des polynômes +homogènes de degré total $r_0+\cdots+r_n$ en les $x_{i,j}$ (en +utilisant le fait que le produit de matrices est bilinéaire). + +Concernant $\mathbf{M}(a_{r_0,\ldots,r_n} x_0^{r_0} \cdots +x_n^{r_n})$, si $r_0+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est homogène de +degré total $d$ en les $x_{i,j}$. Il en va donc de même de la somme +$\mathbf{M}(f(x_0,\ldots,x_n))$ des $a_{r_0,\ldots,r_n} x_0^{r_0} +\cdots x_n^{r_n}$. Par l'homogénéité du déterminant, +$\norm(f(x_0,\ldots,x_n))$ est un polynome homogène (à coefficients +dans $K_0$) de degré total $d \ell$ en les indéterminées $x_{i,j}$ qui +sont au nombre de $(n+1) \ell$. + +D'après la question (2), si $d \ell < (n+1) \ell$, ce qui équivaut à +$d < n+1$, il y a bien une solution non triviale à cette équation +algébrique de degré $d \ell$ en $(n+1) \ell$ indéterminées dans $K_0 = +k(z)$. Or d'après la question (3)(a), l'annulation de ce déterminant +$\norm(f(x_0,\ldots,x_n))$ équivaut à l'annulation de tous les $x_i$ +(i.e., de tous les $x_{i,j}$). On a donc bien montré que +$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution non-triviale dans $K$. +\end{corrige} + + + +% +% +% +\end{document} |