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@@ -1434,6 +1434,22 @@ d'$, l'inégalité dans le sens contraire étant évidente on a $\deg(y^p)
= \deg(y)$ et $y$ est séparable.
\end{proof}
+\thingy L'hypothèse « finie » est essentielle
+dans \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}, et ne
+peut pas être remplacée par « algébrique » : un contre-exemple est
+fourni par $k = \mathbb{F}_p(t)$ et pour $K$ la réunion des
+$\mathbb{F}_p(t^{1/p^i})$ pour $i\in\mathbb{N}$ (chaque
+$\mathbb{F}_p(t^{1/p^i})$ est un corps de fractions rationnelles à une
+indéterminée $t^{1/p^i}$, plongé dans les suivants en identifiant
+$t^{1/p^i}$ à $(t^{1/p^j})^{p^{j-i}}$ si $j\geq i$ : on dit que $K$
+est la « clôture parfaite » de $k$, on l'obtient en prenant toutes les
+racines $p^i$-ièmes des éléments de $k$). Alors $k \subseteq K$ est
+une extension algébrique ; et $K$ est un corps parfait
+(cf. \ref{definition-perfect-field}), c'est-à-dire que $K^p = K$ (on
+l'a construit exprès pour), et a fortiori $K^p$ engendre $K$ comme
+$k$-espace vectoriel : pourtant, l'extension $k \subseteq K$ n'est
+aucunement séparable (elle est même « purement inséparable »).
+
\begin{prop}\label{tower-of-finite-separable-extensions}
Soit $k \subseteq K$ une extension de corps. Si $x_1,\ldots,x_n$ sont
des éléments de $K$ tels que $x_i$ est algébrique séparable sur