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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index e766682..5008f5b 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -631,7 +631,10 @@ algébriques sur $k$, donc certainement aussi sur $k(t_1,\ldots,t_n)$, et on applique \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3).) -\subsection{Extensions linéairement disjointes} +\subsection{Extensions linéairement disjointes}\label{section-linear-disjointness} + +(On pourra se référer à \ref{reinterpretation-of-linear-disjointness} +plus bas pour une réinterprétation des résultats de cette section.) \begin{defn}\label{definition-linear-disjointness} Si $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux extensions contenues @@ -2937,6 +2940,41 @@ $\mathbb{C}\otimes_\mathbb{R}\mathbb{C} = \mathbb{C}[t]/(t^2+1) = \mathbb{C}[t]/((t+\sqrt{-1})(t-\sqrt{-1})) \cong \mathbb{C}\times\mathbb{C}$. +\thingy\label{reinterpretation-of-linear-disjointness} La définition +de l'extension des scalaires permet de reconsidérer la notion +d'extensions de corps linéairement disjointes introduite +en \ref{section-linear-disjointness} ainsi que l'ensemble des +résultats de cette section : + +La proposition \ref{linear-disjointness-with-basis} signifie que deux +extensions de corps $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ contenues dans +une même troisième $M$ sont linéairement disjointes \emph{si et + seulement si} le morphisme $K \otimes_k L \to M$ (application +$L$-linéaire déduite de la factorisation de l'application $K$-linéaire +$K \to M$ en utilisant la propriété universelle) est injective. La +proposition \ref{compositum-generated-by-products} signifie que +lorsque $L$ est algébrique sur $k$, l'extension composée $K.L$ est +simplement l'image de cette application $K \otimes_k L \to M$. La +proposition \ref{base-of-compositum} en conclut que, toujours avec $L$ +algébrique sur $k$, on a $K$ et $L$ sont linéairement disjointes +au-dessus de $k$ si et seulement si $K.L = K\otimes_k L$, ou si on +préfère, si et seulement si $K\otimes_k L$ est un corps (observer que +si $K\otimes_k L$ est un corps, le morphisme $K \otimes_k L \to M$ est +forcément injectif). + +La +proposition \ref{linear-disjointness-of-algebraic-and-transcendental} +signifie (en changeant les notations) que \emph{lorsque $k'$ est + algébrique sur $k$} on a $k(t_1,\ldots,t_d) \otimes_k k' = +k'(t_1,\ldots,t_d)$, à comparer avec $k[t_1,\ldots,t_d] \otimes_k k' = +k'[t_1,\ldots,t_d]$ vu ci-dessus et valable sans hypothèse sur +l'extension $k \subseteq k'$. (Pour montrer que la restriction sur +$k'$ est vraiment pertinente dans le cas des fractions rationnelles, +signalons que $k(x) \otimes_k k(y)$, si $x,y$ sont deux indéterminées, +est le sous-anneau de $k(x,y)$ formé des fractions rationnelles qui +admettent un dénominateur produit d'un polynôme en $x$ et d'un +polynôme en $y$.) + % % |