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diff --git a/controle-2020qcm.tex b/controle-2020qcm.tex index 4e57b75..c40083b 100644 --- a/controle-2020qcm.tex +++ b/controle-2020qcm.tex @@ -165,9 +165,10 @@ aucun de ceux-ci \begin{question} -Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel -$\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$) -reliant les points $(1{:}2{:}3)$ et $(3{:}2{:}1)$ ? +Quelle est l'équation (ou quelles sont les équations) de la droite du +plan projectif réel $\mathbb{P}^2(\mathbb{R})$ (de coordonnées +homogènes $(x{:}y{:}z)$) reliant les points $(1{:}2{:}3)$ et +$(3{:}2{:}1)$ ? \rightanswer $x - 2y + z = 0$ @@ -182,10 +183,10 @@ $x - 2y + z = 0$ et $y - 2 = 0$ \begin{question} -Quelle est l'équation de la droite du plan projectif réel -$\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$) -sur le corps à $5$ éléments reliant les points $(1{:}2{:}2)$ et -$(2{:}2{:}1)$ ? +Quelle est l'équation (ou quelles sont les équations) de la droite du +plan projectif réel $\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5)$ (de coordonnées +homogènes $(x{:}y{:}z)$) sur le corps à $5$ éléments reliant les +points $(1{:}2{:}2)$ et $(2{:}2{:}1)$ ? \rightanswer $x + y + z = 0$ @@ -207,8 +208,8 @@ $x + y + z = 0$ et $y - 2 = 0$ \begin{question} -Quelle est l'équation du plan de l'espace projectif réel -$\mathbb{P}^3(\mathbb{R})$ (de coordonnées +Quelle est l'équation (ou quelles sont les équations) du plan de +l'espace projectif réel $\mathbb{P}^3(\mathbb{R})$ (de coordonnées homogènes $(t{:}x{:}y{:}z)$) passant par $(1{:}1{:}0{:}0)$, $(1{:}0{:}1{:}0)$ et $(1{:}0{:}0{:}1)$ ? @@ -228,6 +229,31 @@ $t=1$ et $x+y+z=1$ % % +\begin{question} + +Dans $\mathbb{P}^2$ (disons, sur $\mathbb{R}$), quel est le point +d'intersection de la droite reliant $(1{:}-1{:}1)$ et $(1{:}1{:}-1)$ +et de celle reliant $(-1{:}1{:}1)$ et $(-1{:}-1{:}-1)$ ? + +\rightanswer +$(1{:}0{:}0)$ + +\answer +$(1{:}1{:}1)$ + +\answer +$(0{:}1{:}1)$ + +\answer +$(0{:}1{:}-1)$ + +\end{question} + + +% +% +% + \begin{qvar} \begin{question} @@ -576,13 +602,13 @@ $(1,0)$ et $(0,1)$ de $\mathbb{A}^2$ de coordonnées affines $(x,y)$ (0,1)\})$). Cet idéal $I$ est engendré par... \rightanswer -$x(x-1)$, $y(y-1)$ et $xy$ +les trois polynômes $x(x-1)$, $y(y-1)$ et $xy$ \answer -$x$, $x-1$, $y$ et $y-1$ +les quatre polynômes $x$, $x-1$, $y$ et $y-1$ \answer -$x(x-1)y(y-1)$ +le polynôme $x(x-1)y(y-1)$ \end{question} @@ -600,19 +626,19 @@ coordonnées homogènes $(x{:}y{:}z)$ (autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\{(0{:}0{:}1)\})$). Cet idéal $I$ est engendré par... \rightanswer -$x$ et $y$ +les deux polynômes $x$ et $y$ \answer -$x$, $y$ et $z-1$ +les trois polynômes $x$, $y$ et $z-1$ \answer -$x$, $y$ et $z$ +les trois polynômes $x$, $y$ et $z$ \answer -$xy$ et $z$ +les deux polynômes $xy$ et $z$ \answer -$xy$ et $z^2$ +les deux polynômes $xy$ et $z^2$ \end{question} @@ -685,19 +711,19 @@ chacun des cinq points $0,1,2,3,4$ de $\mathbb{A}^1$ (autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\{0,1,2,3,4\})$). Cet idéal est engendré par... \rightanswer -$t^5 - t$ +le polynôme $t^5 - t$ \answer $0$ (c'est l'idéal nul) \answer -$t$, $t-1$, $t-2$, $t-3$ et $t-4$ +les cinq polynômes $t$, $t-1$, $t-2$, $t-3$ et $t-4$ \answer -$t^5 - 1$ +le polynôme $t^5 - 1$ \answer -$t^4 - 1$ +le polynôme $t^4 - 1$ \end{question} @@ -718,19 +744,19 @@ autrement dit, $I = \mathfrak{I}(\mathbb{P}^2(\mathbb{F}_5))$). Cet idéal $I$ est engendré par... \rightanswer -$x^5 y - y^5 x$, $y^5 z - z^5 y$ et $z^5 x - x^5 z$ +les trois polynômes $x^5 y - y^5 x$, $y^5 z - z^5 y$ et $z^5 x - x^5 z$ \answer -$0$ (c'est l'idéal nul) +le polynôme $0$ (c'est l'idéal nul) \answer -$1$ (c'est l'idéal unité) +le polynôme $1$ (c'est l'idéal unité) \answer -$x$, $y$ et $z$ +les trois polynômes $x$, $y$ et $z$ \answer -$x^5 - x$, $y^5 - y$ et $z^5 - z$ +les trois polynômes $x^5 - x$, $y^5 - y$ et $z^5 - z$ \end{question} |