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@@ -118,6 +118,38 @@ Durée : 3h
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+\exercice
+
+Soit $K$ un corps de fonctions sur un corps $k$ (c'est-à-dire, une
+extension de type fini de $k$ de degré de transcendance $1$), soit $P$
+une place de $K$ au-dessus de $k$ (dont on pourra noter $v$
+ou $\ord_P$ la valuation), et soit $z$ une uniformizante en $P$
+(autrement dit, $v(z) = 1$).  Soit enfin $d \geq 2$ un entier naturel.
+
+En raisonnant sur la valuation des $x_i$, montrer qu'il n'existe pas
+de solution autre que $(0,\ldots,0)$ à l'équation $x_0^d + z x_1^d +
+z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0$ (homogène de degré $d$ en
+$d$ inconnues $(x_0,\ldots,x_{d-1})$ dans $K$).
+
+\begin{corrige}
+On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un
+multiple de $d$.  Par conséquent, $v(z^i x^d) = i + d\,v(x)$ est
+congru à $i$ modulo $d$.  Par conséquent, dans la somme $x_0^d + z
+x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d$, il est impossible que
+deux termes aient la même valuation (puisqu'elles sont congrues à des
+valeurs différentes modulo $d$) sauf si cette valuation est $\infty$,
+c'est-à-dire que les termes sont nuls.  Donc dès lors que tous les
+termes ne sont pas nuls, il y en a un qui a une valuation
+\emph{strictement} plus petite que tous les autres.
+D'après \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}, la somme ne peut pas
+être nulle, ce qui prouve le résultat voulu.
+\end{corrige}
+
+
+%
+%
+%
+
 \exercice\label{basic-dimension-fact}
 
 Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}.  On considère