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diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index e986735..935ca0e 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -74,9 +74,9 @@ % \begin{document} \ifcorrige -\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances — Corrigé\\{\normalsize Courbes algébriques}} \else -\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissance\\{\normalsize Courbes algébriques}} +\title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} \fi \author{} \date{21 avril 2016} @@ -102,8 +102,8 @@ est précisé. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. -La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les questions ont été -formulées de manière à rappeler le contexte et certaines notions du +La longueur de l'énoncé ne doit pas décourager : les exercices ont été +formulés de manière à rappeler le contexte et certaines notions du cours, si bien que les réponses attendues sont souvent plus courtes que les questions. @@ -124,6 +124,14 @@ Barème indicatif : chaque question a approximativement la même valeur. Il ne sera pas nécessaire de tout traiter pour avoir le maximum des points. +\medbreak + +On rappelle qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_n]$ est dit +« homogène de degré $d$ » lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de +chacun des monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ qui apparaissent +dans $f$ est égal à $d$. Le produit de deux polynômes homogènes de +degrés $d,d'$ est évidemment homogène de degré $d+d'$. + \pagebreak @@ -141,8 +149,8 @@ ou $\ord_P$ la valuation), et soit $z$ une uniformizante en $P$ En raisonnant sur la valuation des $x_i$, montrer qu'il n'existe pas de solution autre que $(0,\ldots,0)$ à l'équation $x_0^d + z x_1^d + -z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0$ (homogène de degré $d$ en -$d$ inconnues $(x_0,\ldots,x_{d-1})$ dans $K$). +z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d = 0$ (algébrique homogène de +degré $d$ en $d$ inconnues $(x_0,\ldots,x_{d-1})$) dans $K$. \begin{corrige} On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un @@ -168,15 +176,13 @@ D'après \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}, la somme ne peut pas Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}. On considère $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes} de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > 0$ en les indéterminées -$t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de -degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses -monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$). Le but de -l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un -zéro commun non-trivial à $f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution -de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans $k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$). On -suppose donc par l'absurde que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des -zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on -va montrer $n \leq m$. +$t_1,\ldots,t_n$. Le but de l'exercice est de montrer que si $n>m$ +alors il existe dans $k^n$ un zéro commun non-trivial à +$f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans +$k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$). On suppose donc par l'absurde +que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à +$f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n +\leq m$. (1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$ @@ -202,8 +208,8 @@ appartient donc à $I$. (2) Déduire du (1) que tout monôme $q$ de degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit sous la forme $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ où $h_1,\ldots,h_m$ sont eux-mêmes homogènes de degré total $\deg -q - d_j$ (ou bien zéro, notamment lorsque $\deg q < d_j$). On pourra -pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total. +q - d_j$ (ou bien nuls, notamment lorsque $\deg q < d_j$). On pourra +pour cela ne conserver que les monômes de bon degré total dans $h_j$. \begin{corrige} La conclusion du (1) montre que pour tout monôme $q$ de degré total @@ -215,7 +221,7 @@ si $\deg q < d_j$), puisque $f_j$ est homogène de degré total $d_j$ et que $q$ est également homogène (c'est un monôme !) de degré total $\deg q$, on a toujours l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ (en effet, on n'a pas changé les monômes de degré total $\deg q$ dans -cette égalité). +cette égalité, et on a retiré tous ceux d'un autre degré). \end{corrige} \smallbreak @@ -223,26 +229,36 @@ cette égalité). Soit $K = k(f_1,\ldots,f_m)$ le sous-corps de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendré par $f_1,\ldots,f_m$ au-dessus de $k$. -(3) Réinterpréter l'égalité du (2) pour expliquer que tout monôme $q$ -de degré total $\deg q \geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme -combinaison $K$-linéaire de monômes en $t_1,\ldots,t_n$ chacun de -degré total $< \deg q$. En déduire la même conclusion avec maintenant -des monômes chacun de degré $< r$. +(3) Déduire du (2) que tout polynôme $q$ de degré total $s \geq r$ en +$t_1,\ldots,t_n$ s'écrit comme combinaison $K$-linéaire de monômes en +$t_1,\ldots,t_n$ chacun de degré total $< s$. En déduire la même +conclusion avec maintenant des monômes chacun de degré $< r$. \begin{corrige} -En décomposant chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total -$\deg q - d_j$, l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue -en (2) signifie que (si $q$ est un monôme de degré $\geq r$) le monôme -$q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des monômes de -degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que lui. - -En récrivant de nouveau les monômes qui sont de plus grand degré $\geq -r$ comme combinaison des monômes de degré strictement plus petit -qu'eux, et en itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand -degré total d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $K$-linéaire -décroît strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à -$r$), on finit par arriver à une combinaison $K$-linéaire de monômes -chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. +Soit $q$ un monôme de degré total $\deg q \geq r$. En décomposant +chaque $h_j$ comme somme de monômes de degré total $\deg q - d_j$, +l'égalité $q = h_1 f_1 + \cdots + h_m f_m$ obtenue en (2) signifie que +le monôme $q$ est combinaison linéaire à coefficients dans $K$ des +monômes de degré total $< \deg q$, i.e., strictement plus petit que +lui. + +Si maintenant $q$ est un polynôme de degré total $s \geq r$, chacun de +ses monômes est soit déjà de degré $<r$ (donc $<s$, et il n'y a rien à +faire) soit, d'après ce qu'on vient d'expliquer, combinaison +$K$-linéaire de monômes de degré total strictement plus petits que lui +et, en particulier, strictement plus petits que $s$. En ajoutant +toutes ces combinaisons, on voit que tout polynôme $q$ de degré total +$s \geq r$ est combinaison $K$-linéaire de monômes chacun de degré +total $< s$. + +En recommançant, c'est-à-dire en réécrivant de nouveau tous les +monômes comme combinaisons $K$-linéaires de monômes de degré $< s$ où +$s$ est le degré total du plus grand monôme qui apparaît, et en +itérant ce processus (qui termine vu que le plus grand degré total $s$ +d'un monôme qui apparaît dans la combinaison $K$-linéaire décroît +strictement à chaque étape tant qu'il est au moins égal à $r$), on +finit par arriver à une combinaison $K$-linéaire de monômes chacun de +degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. \end{corrige} \smallbreak @@ -250,7 +266,7 @@ chacun de degré total $< r$, soit la conclusion souhaitée. (4) Déduire de (3) que la sous-$K$-algèbre $K[t_1,\ldots,t_n]$ de $k(t_1,\ldots,t_n)$ engendrée par les $t_i$ (i.e., l'ensemble des combinaisons $K$-linéaires des monômes en $t_1,\ldots,t_n$) est un -$K$-espace vectoriel de dimension finie. Conclure que +$K$-espace vectoriel de dimension \emph{finie}. Conclure que $K[t_1,\ldots,t_n]$ est un corps, qu'il coïncide avec $k(t_1,\ldots,t_n)$, donc que ce dernier est un $K$-espace vectoriel de dimension finie. @@ -327,12 +343,12 @@ soient dans $k[z]$ (et non tous nuls). On va écrire $x_i = indéterminés et où $N$ est un entier. Expliquer pourquoi la condition $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ recherchée se traduit sous la forme d'un système d'équations algébriques en les $c_{i,j}$, toutes homogènes. -On ne demande pas forcément d'écrire ce système, mais on précisera au -moins clairement le nombre d'équations, leur degré, et le nombre de +On ne demande pas d'écrire ce système, mais on précisera au moins +clairement le nombre d'équations, leur degré, et le nombre de variables ; on pourra appeler $\delta$ le degré de $f$ en la variable $z$, et considérer le degré en $z$ et le degré total en les -$c_{i,j}$ d'un monôme $a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$ -intervenant dans $f(x_1,\ldots,x_n)$. En utilisant le résultat de +$c_{i,j}$ d'un terme $a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$ +de $f(x_1,\ldots,x_n)$. En utilisant le résultat de l'exercice \ref{basic-dimension-fact}, montrer que ce système a, en effet, une solution en les $c_{i,j}$ si $N$ est assez grand. @@ -411,20 +427,21 @@ Il suffit de chasser les dénominateurs. Plus précisément, si $f \in k(z)[t_1,\ldots,t_n]$, soit $q \in k[z]$ un dénominateur commun à tous les coefficients $a_{r_1,\ldots,r_n}$ de $f$ (en les variables $t_1,\ldots,t_n$). Alors $q\,f \in k[z,t_1,\ldots,t_n]$, et comme on -a vu en (1) que l'équation $q\,f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a une solution, -il en va de même de l'équation $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ (dans $k(z)$). +a vu en (1) que l'équation $q\,f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a une solution +non-triviale, cette solution en est aussi une de +l'équation $f(x_1,\ldots,x_n) = 0$. \end{corrige} \smallbreak -(3) Dans cette question indépendante des précédentes, on suppose que +(3) Dans cette question (indépendante des précédentes), on suppose que $K_0 \subseteq K$ est une extension de corps de degré $\ell := [K : K_0]$ fini. Soit $e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme $K_0$-espace vectoriel. Lorsque $w \in K$, on notera $\mathbf{M}(w)$ la matrice $\ell\times \ell$ à coefficients dans $K_0$ qui représente l'application $K \to K, \penalty0\; y\mapsto w\cdot y$ de -multiplication par $w$ (vue comme une application $K_0$-linéaire sur -le $K_0$-espace vectoriel $K$ de dimension $\ell$), sur la base +multiplication par $w$ (vue comme une application $K_0$-linéaire +du $K_0$-espace vectoriel $K$ de dimension $\ell$), sur la base $e_1,\ldots,e_\ell$, et on notera $\norm(w) := \det(\mathbf{M}(w))$ son déterminant (c'est donc un élément de $K_0$).\spaceout (a) Expliquer pourquoi $\mathbf{M}(ww') = \mathbf{M}(w)\, @@ -466,10 +483,10 @@ $e_1,\ldots,e_\ell$ une base de $K$ comme $K_0$-espace vectoriel. Soit $f \in K[t_1,\ldots,t_n]$ (toujours de degré total $0<d<n$ en $t_1,\ldots,t_n$). On va écrire $x_i = \sum_{j=1}^\ell x_{i,j} e_j$ où les $x_{i,j} \in K_0$ sont des coefficients indéterminés. -Expliquer pourquoi la condition $\norm(f(x_1,\ldots,x_n)) = 0$ -recherchée se traduit sous la forme d'une équation algébrique homogène -de degré $d \ell$ en $n \ell$ indéterminées. En déduire qu'elle a une -solution non-triviale. +Expliquer pourquoi la condition $\norm(f(x_1,\ldots,x_n)) = 0$ se +traduit sous la forme d'une équation algébrique homogène de degré $d +\ell$ en $n \ell$ indéterminées. En déduire qu'elle a une solution +non-triviale. Conclure. \begin{corrige} Disons qu'on ait @@ -490,18 +507,20 @@ $\mathbf{M}(x_i)$ sont des combinaisons $K_0$-linéaires des $x_{i,j}$ homogènes de degré total $r_1+\cdots+r_n$ en les $x_{i,j}$ (en utilisant le fait que le produit de matrices est bilinéaire). Concernant $\mathbf{M}(a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} \cdots -x_n^{r_n})$, si $r_1+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est de degré -homogène de degré total $d$ en les $x_{i,j}$. Il en va donc de même -de la somme $\mathbf{M}(f(x_1,\ldots,x_n))$ des $a_{r_1,\ldots,r_n} -x_1^{r_1} \cdots x_n^{r_n}$. Par l'homogénéité du déterminant, +x_n^{r_n})$, si $r_1+\cdots+r_n=d$, on en déduit qu'il est homogène de +degré total $d$ en les $x_{i,j}$. Il en va donc de même de la somme +$\mathbf{M}(f(x_1,\ldots,x_n))$ des $a_{r_1,\ldots,r_n} x_1^{r_1} +\cdots x_n^{r_n}$. Par l'homogénéité du déterminant, $\norm(f(x_1,\ldots,x_n))$ est un polynome homogène de degré total $d \ell$ en les indéterminées $x_{i,j}$ qui sont au nombre de $n \ell$. -Or d'après la question (3)(a), l'annulation de ce déterminant équivaut -à l'annulation de tous les $x_i$ (i.e., de tous les $x_{i,j}$). Et -d'après la question (2), si $d \ell < n \ell$, ce qui équivaut à $d < n$, il -y a bien une solution non triviale à cette équation algébrique de -degré $d \ell$ en $n \ell$ indéterminées dans $K_0 = k(z)$. +D'après la question (2), si $d \ell < n \ell$, ce qui équivaut à $d < +n$, il y a bien une solution non triviale à cette équation algébrique +de degré $d \ell$ en $n \ell$ indéterminées dans $K_0 = k(z)$. Or +d'après la question (3)(a), l'annulation de ce déterminant +$\norm(f(x_1,\ldots,x_n))$ équivaut à l'annulation de tous les $x_i$ +(i.e., de tous les $x_{i,j}$). On a donc bien montré que +$f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ a une solution non-triviale dans $K$. \end{corrige} \smallbreak @@ -539,7 +558,7 @@ non-trivial dans $K^n$. (Ce résultat s'appelle le théorème de Tsen. On pourra remarquer que l'exercice \ref{equation-with-no-solutions} montre que l'inégalité est optimale sur n'importe quel corps, puisqu'on y a trouvé un polynôme -homogène de degré $d$ en $n=d$ varaibles sans zéro non-trivial.) +homogène de degré $d$ en $n=d$ variables sans zéro non-trivial.) \end{corrige} @@ -549,11 +568,10 @@ homogène de degré $d$ en $n=d$ varaibles sans zéro non-trivial.) \exercice -Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $\neq 2,3,5$. On -considère la courbe $C$ plane sur $k$ d'équation $y^2 = x^5 - 1$. On -admettra sans vérification que le polynôme $h := y^2 - x^5 + 1 \in -k[x,y]$ est géométriquement irréductible, et on posera $K := k(C) = -k(x)[y]/(h)$. +Soit $k$ un corps parfait de caractéristique $\neq 2,5$. On considère +la courbe $C$ plane sur $k$ d'équation $y^2 = x^5 - 1$. On admettra +sans vérification que le polynôme $h := y^2 - x^5 + 1 \in k[x,y]$ est +géométriquement irréductible, et on posera $K := k(C) = k(x)[y]/(h)$. (1) Si $w$ est une valuation de $K$ au-dessus de $k$, montrer qu'on a $w(x)<0$ si et seulement si $w(y)<0$. Exprimer le rapport entre @@ -607,7 +625,8 @@ y)$ est complètement déterminé par la donnée de $e$, à savoir $e\, \min(v_\infty(f_0), v_\infty(f_1) - \frac{5}{2})$. Mais puisque l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et -$w(y) = -5$. +$w(y) = -5$, et en général $w(f_0 + f_1 y) = \min(2 v_\infty(f_0), 2 +v_\infty(f_1) - 5)$. Il existe forcément une telle valuation, car $x$ n'est pas constant (il est transcendant sur $k$), donc il a un pôle, ce qui signifie @@ -618,15 +637,15 @@ exactement qu'il existe une place $w$ comme on vient de le décrire. (4) On note $M$ la place de $C$ qui a été trouvée (c'est-à-dire que $w = \ord_M$ est l'unique valuation de $K$ au-dessus de $k$ pour laquelle -$w(x) < 0$). Montrer que pour tout $r \in \mathbb{N}$ les fonctions -$1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 y,xy,\ldots,x^{r-3}y$ sont dans l'espace de -Riemann-Roch $\mathscr{L}(2r(M))$ et sont linéairement indépendants +$w(x) < 0$). Montrer que pour tout $r \geq 3$ entier, les fonctions +$1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 y,xy,\ldots,x^{r-3}y$ sont dans l'espace +de Riemann-Roch $\mathscr{L}(2r(M))$ et sont linéairement indépendants sur $k$. En déduire un minorant de $\ell(2r(M))$. En prenant $r$ grand, en déduire un majorant sur le genre $g$ de $C$. \begin{corrige} On vient de voir que $\ord_M(x) = -2$ et $\ord_M(y) = -5$. Par -conséquent, $\ord_M(x^i) = -2i$ et $\ord_M(x^i y) = -5-2i$. Ces +conséquent, $\ord_M(x^i) = -2i$ et $\ord_M(x^i y) = -2i-5$. Ces quantités sont $\geq -2r$ lorsque respectivement $i\leq r$ et $i\leq r-\frac{5}{2}$ (c'est-à-dire en fait $i \leq r-3$ puisque $i,r$ sont entiers). On a bien montré que $1,x,x^2,\ldots,x^r,\penalty0 @@ -640,7 +659,7 @@ $\ell(2r(M)) \geq 2r-1$. Or on sait par \ref{degree-of-canonical-divisor}(B) que si $r$ est assez grand (à savoir $2r > 2g - 2$ mais peu importe), on a -$\ell(2r(M)) = 2r + 1 - g$. On en déduit $1 - g \geq -1$, +$\ell(2r(M)) = 2r + 1 - g$. On en déduit $2r + 1 - g \geq 2r-1$, c'est-à-dire $g \leq 2$. \end{corrige} |