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diff --git a/controle-20220413.tex b/controle-20220413.tex index dfb7bec..9d33689 100644 --- a/controle-20220413.tex +++ b/controle-20220413.tex @@ -67,7 +67,7 @@ \title{ACCQ205\\Contrôle de connaissances\\{\normalsize Courbes algébriques}} \fi \author{} -\date{14 avril 2021} +\date{13 avril 2022} \maketitle \pretolerance=8000 @@ -81,12 +81,12 @@ Les exercices sont totalement indépendants. Ils pourront être traités dans un ordre quelconque, mais on demande de faire apparaître de façon très visible dans les copies où commence chaque exercice. -La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé est long parce -que des rappels ont été faits et que la rédaction des questions -cherche à éviter toute ambiguïté. Les réponses attendues sont -généralement beaucoup plus courtes que les questions elles-mêmes. +La longueur du sujet ne doit pas effrayer : l'énoncé du dernier +exercice est long parce que beaucoup de rappels ont été faits et que +la rédaction des questions cherche à donner tous les éléments +nécessaires pour passer d'une question aux suivantes. -La difficulté des questions étant varié, il vaut mieux ne pas rester +La difficulté des questions étant variée, il vaut mieux ne pas rester bloqué trop longtemps. Si on ne sait pas répondre rigoureusement, une réponse informelle peut @@ -209,8 +209,13 @@ algébriquement clos pour simplifier. Soient $\xi_1,\ldots,\xi_5 \in k$ deux à deux distincts : on appelle $p(x) = (x-\xi_1)\cdots(x-\xi_5) \in k[x]$ le polynôme unitaire ayant les $\xi_i$ pour racines. On appelle $C^+$ la courbe (dite « hyperelliptique ») obtenue en ajoutant -un point à l'infini noté $\infty$ à la variété algébrique affine $C$ -d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$. +un point à l'infini\footnote{Pour être tout à fait exact, il ne s'agit + pas de la complétée projective de $C$ dans $\mathbb{P}^2$, mais + d'une « désingularisation » de celle-ci (qui a cependant un unique + point en plus de ceux de $C$ comme la complétée projective). Les + questions qui suivent ont été rédigées de manière à ce que cette + subtilité ne pose pas de problème.} noté $\infty$ à la variété +algébrique affine $C$ d'équation $y^2 = p(x)$ dans $\mathbb{A}^2$. On admettra sans justification les faits suivants : \begin{itemize} @@ -226,10 +231,10 @@ On admettra sans justification les faits suivants : $p(x)$. \end{itemize} -On rappelle par ailleurs qu'on appelle \emph{valuation discrète} sur -$K$ au-dessus de $k$ une fonction $v\colon K\to -\mathbb{Z}\cup\{\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes : -\textbf{(o)} $v(f) = \infty$ si et seulement si $f=0$,\quad +On rappelle par ailleurs qu'une \emph{valuation discrète} sur $K$ +au-dessus de $k$ et une fonction $v\colon K\to +\mathbb{Z}\cup\{+\infty\}$ qui vérifie les propriétés suivantes : +\textbf{(o)} $v(f) = +\infty$ si et seulement si $f=0$,\quad \textbf{(i)} $v(f_1 + f_2) \geq \min(v(f_1), v(f_2))$ (avec automatiquement l'égalité lorsque $v(f_1) \neq v(f_2)$),\quad \textbf{(ii)} $v(f_1 f_2) = v(f_1) + v(f_2)$,\quad \textbf{(k)} $v(c) @@ -259,12 +264,12 @@ où $\val_{x_0}(g)$ est l'ordre d'annulation\footnote{C'est-à-dire que $x-x_0$ qui divise $g$ si $g \in k[x]$, et $\val_{x_0}(g/h) = \val_{x_0}(g) - \val_{x_0}(h)$ en général.} de la fraction rationnelle $g$ en $x_0$, et $\val_\infty(g)$ est le degré du -dénominateur moins le degré du numérateur. (NB : c'est pour éviter la -confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a écrit -$\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en un -point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une +dénominateur moins le degré du numérateur. (NB : c'est seulement pour +éviter la confusion entre valuations sur $K$ et sur $k(x)$ qu'on a +écrit $\ord_P$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $C^+$ en +un point $P$ de $C^+$ et $\val_Q$ pour l'ordre d'annulation d'une fonction sur $\mathbb{P}^1$ en un point $Q$ de $\mathbb{P}^1$. Il -s'agit du même type d'objet sur deux courbes différentes.) +s'agit de la même construction sur deux courbes différentes.) \smallbreak @@ -300,8 +305,8 @@ $\sum_{Q\in C^+} \ord_Q(h) = 0$, montrer que $\ord_Q(x-x_Q) = \ord_{Q'}(x-x_Q) = 1$. En déduire que $\ord_Q(g) = \val_{x_Q}(g)$ pour tout $g \in k(x)$. En déduire que $\ord_Q(y - y_Q) = 1$ (on pourra remarquer que $y^2 - y_Q^2 = p(x) - p(x_Q)$ et que $p'(x_Q) -\neq 0$). Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ est régulière en -$Q$ et en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra +\neq 0$). Montrer que si $f := g_0 + g_1\,y \in K$ n'a pas de pôle en +$Q$ ni en $Q'$, alors $g_0,g_1$ n'ont pas de pôle en $x_P$ (on pourra écrire $g_0 = \frac{1}{2}(f+\tilde f)$ et $g_1 = \frac{1}{2y}(f-\tilde f)$ où $\tilde f = g_0 - g_1\,y$ est la composée de $f$ par la symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$). @@ -310,11 +315,12 @@ symétrie $(x,y) \mapsto (x,-y)$). (5) Pour $n \in \mathbb{N}$, on s'intéresse à l'espace vectoriel $\mathscr{L}(n[\infty])$ des fonctions rationnelles $f = g_0 + g_1\,y$ -sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $n$ en $\infty$ (c'est-à-dire -$\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs. Montrer que cela -équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$ et -$g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$. En déduire que -la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut +sur $C^+$ ayant au plus un pôle d'ordre $\leq n$ en $\infty$ +(c'est-à-dire $\ord_\infty(f) \geq -n$) et aucun pôle ailleurs +(c'est-à-dire $\ord_Q(f) \geq 0$ pour tout $Q \in C$). Montrer que +cela équivaut à : $g_0 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n}{2}$ +et $g_1 \in k[x]$ polynôme de degré $\leq\frac{n-5}{2}$. En déduire +que la dimension $\ell(n[\infty])$ de $\mathscr{L}(n[\infty])$ vaut $\max(0,\lfloor\frac{n}{2}\rfloor+1) + \max(0,\lfloor\frac{n-5}{2}\rfloor+1)$ où $\lfloor v\rfloor$ désigne la partie entière de $v$. En déduire que @@ -328,7 +334,40 @@ n-1&\hbox{~si $n\geq 3$}\\ \right. \] (on pourra par exemple calculer les valeurs pour $n=0,1,2,3,4,5$ -séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair). +séparément et, pour $n\geq 5$, distinguer $n$ pair et $n$ impair). On +rappelle que le théorème de Riemann-Roch prédit $\ell(n[\infty]) = n + +1 - g$ si $n$ est assez grand, où $g$ est le genre de la courbe : que +vaut $g$ ici ? + +\smallbreak + +Pour la question suivante, on rappelle que la différentielle $df$ +d'une fonction $f$ a pour ordre $\ord_Q(df) = \ord_Q(f) - 1$ si +$\ord_Q(f) \neq 0$, et $\ord_Q(df) \geq 0$ dès que $\ord_Q(f) \geq 0$. +On rappelle par ailleurs que $f \mapsto df$ est $k$-linéaire et que +$d(ff') = f\,df' + f'\,df$. + +\smallbreak + +(6) Calculer $\ord_Q(dx)$ en tout $Q \in C^+$ (y compris $\infty$ et +les cinq points $P_1,\ldots,P_5$) ; on pourra remarquer que $d(x-c) = +dx$. En déduire que le diviseur canonique de $\omega := \frac{dx}{y}$ +vaut $2[\infty]$, c'est-à-dire que $\ord_Q(\omega) = 0$ en tout point +$Q$ sauf $\ord_\infty(\omega) = 2$. Le théorème de Riemann-Roch +prédit plus exactement $\ell(n[\infty]) - \ell((2-n)[\infty])) = n + 1 +- g$ pour tout $n \in \mathbb{Z}$ : vérifier directement cette +affirmation à l'aide du résultat calculé à la question (5). + +\smallbreak + +(7) Aux questions (2) et (3), on a calculé exactement $\ord_Q(f)$ +(pour $f$ quelconque, écrit sous la forme $g_0 + g_1 y$) si $Q$ est +l'un des six points $P_1,\ldots,P_5,\infty$, en calculant séparément +$\ord_Q(g)$ si $g\in k(x)$ et $\ord_Q(y)$. À la question (4), on a +étudié $\ord_Q$ pour un quelconque autre point, on a calculé +$\ord_Q(g)$ et $\ord_Q(y - y_Q)$. Ceci permet-il de calculer +$\ord_Q(f)$ en général ? Si non, donner un exemple de fonction $f \in +K$ dont le calcul ne découle pas de ces valeurs. |