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diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex index 6192b9d..81bd76c 100644 --- a/exercices-courbes.tex +++ b/exercices-courbes.tex @@ -664,6 +664,34 @@ $\frac{dx}{y} = \frac{1}{x^3 + ax + b}\,y\,dx = \frac{1}{3x^2+a}\,dy$ répond à la question. \end{corrige} +\smallbreak + +(15) Si $D$ est un diviseur de degé $1$ sur $E$, montrer que $\ell(D) += 1$. En déduire que tout diviseur $D$ de degré $0$ est linéairement +équivalent à $(M) - (\heartsuit)$ pour une place $M$ de degré $1$ (on +considérera un élément non nul dans $\mathscr{L}(D + (\heartsuit))$). +Montrer que cette place est unique, i.e., que $(M) - (\heartsuit)$ +n'est linéairement équivalent à $(M') - (\heartsuit)$ que pour $M'=M$ +(on pourra noter que tout élément de $\mathscr{L}((M))$ est une +constante). + +\begin{corrige} +D'après \ref{degree-of-canonical-divisor}(B), si $D$ est de degré $1 > +2g-2$, on a $\ell(D) = \deg D + 1 - g = 1$. Si maintenant $D$ est de +degré $0$, alors $D + (\heartsuit)$ est de degré $1$, donc on vient de +voir qu'il existe $z \in \mathscr{L}(D + (\heartsuit))$ non nul, +c'est-à-dire $\divis(z) + D + (\heartsuit) \geq 0$, or le membre de +gauche est de degré $1$, et un diviseur effectif de degré $1$ est +évidemment de la forme $(M)$ pour $M$ une place rationnelle. On a +donc $\divis(z) + D + (\heartsuit) = (M)$, ce qui donne bien $D \sim +(M) - (\heartsuit)$. Enfin, $M$ est unique sous ces conditions, car +si $(M') - (\heartsuit) \sim (M) - (\heartsuit)$, autrement dit $(M') +- (M) = \divis(u)$ pour un certain $u\in K^\times$, on a $u \in +\mathscr{L}((M))$, et on vient de voir que $\ell((M)) = 1$, +c'est-à-dire que $\mathscr{L}((M))$ ne contient que les constantes, +bref, $\divis(u) = 0$ et $M = M'$. +\end{corrige} + % |