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diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex index d17f53f..12ab551 100644 --- a/exercices-courbes.tex +++ b/exercices-courbes.tex @@ -280,7 +280,7 @@ $\ord_\heartsuit(x) = -2$ et $\ord_\heartsuit(y) = -3$. \smallbreak -(5) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$ +(6) Expliquer concrètement comment voir l'évaluation en $\heartsuit$ d'un élément de $K$ représenté d'une des deux manières qu'on a vues en (3). @@ -318,7 +318,7 @@ confirme bien que $\heartsuit$ est rationnelle. \emph{On supposera désormais que la condition trouvée en (1) est satisfaite.} -(6) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax +(7) Soit $f_\sharp$ un facteur unitaire irréductible de $f := x^3 + ax + b$ dans $k[x]$. Montrer qu'il existe exactement une valuation $v$ de $K$ au-dessus de $k$ telle que $v(f_\sharp)>0$ : on calculera $v(y)$ au passage, et on considérera plus généralement la valuation de @@ -359,15 +359,15 @@ que $v(f_\sharp)>0$). \smallbreak -(7) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place -$\clubsuit$ associée en (6) à un facteur irréductible $f_\sharp$ +(8) Décrire l'anneau de valuation $\mathcal{O}_\clubsuit$ de la place +$\clubsuit$ associée en (7) à un facteur irréductible $f_\sharp$ de $f$ ? Expliquer quel est le corps résiduel $\varkappa_\clubsuit$ et comment voir concrètement l'évaluation en $\clubsuit$ d'un élément de $K$ représenté comme $f_0 + f_1 y$. Quel est le degré de $\clubsuit$ ? \begin{corrige} -On se rappelle qu'on a vu en (6) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut +On se rappelle qu'on a vu en (7) que $\ord_\clubsuit(f_1 y)$ ne peut jamais être de la forme $\ord_\clubsuit(f_0)$. La valuation $\ord_\clubsuit$ de $f_0 + f_1 y$ est donc positive si et seulement si $\ord_\clubsuit(f_0) \geq 0$ et $\ord_\clubsuit(f_1) \geq -1$, sachant @@ -406,6 +406,38 @@ $\ord_\infty(f_1) \geq 0$, et $\infty$ sinon. En particulier, le degré de $\clubsuit$ est le degré de $f_\sharp$. \end{corrige} +\smallbreak + +(9) Soit $f_P$ un polynôme unitaire irréductible de $k[x]$ qui +\emph{ne divise pas} $f$. Soit $\kappa := k[x]/(f_P)$ le corps de +rupture de $f_P$ sur $k$. On considère la classe $\bar h$ de $h$ +modulo $f_P$ comme un élément de $\kappa[y]$, et on distingue deux +cas : (a) $\bar h$ se scinde dans $\kappa[y]$ comme produit de deux +polynômes de degré $1$, et (b) $\bar h$ est irréductible +dans $\kappa[y]$. Montrer que dans le cas (a), il existe exactement +deux idéaux maximaux $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$ +et $f_P$, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} = \kappa$ pour chacun d'entre +eux ; et que dans le cas (b), il existe un unique idéal maximal +$\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ contenant $h$ et $f_P$, à savoir l'idéal +$(h,f_P)$ qu'ils engendrent, et que $k[x,y]/\mathfrak{n} =: \kappa'$ +est le corps de rupture de $\bar h$ sur $\kappa$ (de degré $2$ +sur $\kappa$, donc). + +\smallbreak + +(10) En continuant le contexte de la question précédente +($f_P$ polynôme unitaire irréductible ne divisant pas $f$), montrer +que, quel que soit l'idéal maximal $\mathfrak{n}$ de $k[x,y]$ +contenant $h$ et $f_P$, l'évaluation de $h'_x$ en $Z(\mathfrak{n})$ +(qui est par définition, la classe de $h'_x$ modulo $\mathfrak{n}$, +vue comme un élément de $k[x,y]/\mathfrak{n}$) n'est pas nulle. +Rappeler pourquoi ceci construit sur $E$ : dans le cas (a) deux places +de degré $\deg f_P$, et dans le cas (b) une place de degré $2\deg +f_P$. Montrer que $f_P(x) \in K$ s'annule aux places ainsi +construites. Quel est le degré de $f_P(x) \in K$ (c'est-à-dire $[K : + k(f_P(x))]$) ? En déduire que $f_P(x)$ ne s'annule pas ailleurs +qu'aux places qu'on a construites. + % |