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Réciproquement, si $\Gamma$ est un groupe totalement -ordonné et $v\colon K \to \Gamma \cup \{\infty\}$ une fonction -surjective vérifiant (o), (i) et (ii), alors $R := \{x\in K : v(x) -\geq 0\}$ est un anneau de valuation qui a $v$ pour valuation -associée : on dit alors que $v$ est une \defin{valuation} sur $K$ ou -sur $R$. +et de plus, +\begin{itemize} +\item[(ii.b)] $v(x+y) = \min(v(x),v(y))$ si $v(x)\neq v(y)$, +\end{itemize} +qui est une conséquence des précédentes. + +L'anneau $R$ peut se retrouver à partir de la valuation comme $\{x\in +K : v(x) \geq 0\}$. + +Réciproquement, si $\Gamma$ est un groupe totalement ordonné et +$v\colon K \to \Gamma \cup \{\infty\}$ une fonction surjective +vérifiant (o), (i) et (ii), alors $R := \{x\in K : v(x) \geq 0\}$ est +un anneau de valuation qui a $v$ pour valuation associée : on dit +alors que $v$ est une \defin{valuation} sur $K$ ou sur $R$. En particulier, on peut définir un anneau de valuation discrète comme un anneau $R$ muni d'une fonction $v\colon \Frac(R) \to \mathbb{Z} @@ -3715,7 +3721,17 @@ et $\infty$. Dire qu'une valuation est au-dessus de $k$ (sous-corps de $K$) signifie qu'elle est nulle sur $k^\times$ (ou positive sur $k$, ce qui revient au même). -\thingy Si $A$ est un anneau et $v\colon A \to \Gamma\cup\{\infty\}$ +\thingy\label{remark-on-sums-in-valuation-rings} Une conséquence +fréquemment utilisée des propriétés des valuations est qu'une somme +$x_1 + \cdots + x_n$ dans laquelle un des termes a une valuation +\emph{strictement plus petite} que tous les autres n'est jamais nulle. +(En effet, si $v(x_i) < v(x_j)$ pour tout $j\neq i$, alors $v(x_i) < +v(y)$ où $y := \sum_{j\neq i} x_j$ d'après la propriété (ii), et +(ii.b) entraîne alors que la valuation de la somme est égale à celle +de $x_i$, donc n'est pas $\infty$.). + +\thingy\label{valuations-on-integral-domains} +Si $A$ est un anneau et $v\colon A \to \Gamma\cup\{\infty\}$ (où $\Gamma$ est un groupe totalement ordonné) une fonction vérifiant (o), (i) et (ii) de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}, alors $A$ est intègre (à cause de (i)), et il est facile de vérifier @@ -3765,21 +3781,56 @@ type d'exemple ne nous intéressera guère, car on va voir en \ref{valuations-on-curves-are-discrete} ci-dessous que toutes les valuations non-triviales sur les courbes sont discrètes. +\begin{prop}\label{local-rings} +Les deux propriétés suivantes sur un anneau $R$ sont équivalentes : +\begin{itemize} +\item $R$ a un unique idéal maximal, +\item le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$ des unités + de $R$ est un idéal (forcément maximal) +\end{itemize} +Un anneau vérifiant ces propriétés est appelé un anneau \defin[local + (anneau)]{local}. +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $R^\times$ l'ensemble des unités de $R$. Comme une unité +engendre l'idéal (unité !) $R$, tout idéal autre que $R$ est inclus +dans le complémentaire $R \setminus R^\times$. + +Si $R$ a un unique idéal maximal $\mathfrak{m}$, alors tout élément $x +\in R$ qui \emph{n'est pas} une unité engendre un idéal $(x)$ qui est +inclus dans $\mathfrak{m}$ d'après \ref{existence-maximal-ideals}, +donc $x \in \mathfrak{m}$ : ceci montre $(R\setminus R^\times) +\subseteq \mathfrak{m}$, et l'inclusion réciproque résulte du +paragraphe précédent. + +Réciproquement, si $R \setminus R^\times$ est un idéal, on a expliqué +qu'il continent tout autre idéal strict, et en particulier, il est +maximal. +\end{proof} + +\thingy Un exemple d'anneau local est celui formé des fractions +rationnelles $f/g \in k(t_1,\ldots,t_n)$ dont un dénominateur $g$ (ou, +si on préfère, le dénominateur réduit) ne s'annule pas à l'origine (on +vérifie facilement qu'il s'agit d'un anneau) : son idéal maximal est +alors formé de celles dont le \emph{numérateur} s'annule à l'origine. + +Plus généralement, si $\mathfrak{p}$ est un idéal premier de +$k[t_1,\ldots,t_n]$, l'anneau des fractions rationnelles de la forme +$f/g$ avec $f,g \in k[t_1,\ldots,t_n]$ et $g\not\in\mathfrak{p}$ +(i.e., le dénominateur réduit n'est pas identiquement nul +sur $V(\mathfrak{p})$) est un anneau local dont l'idéal maximal est +formé des fractions avec $f\in\mathfrak{p}$ et $g\not\in\mathfrak{p}$. + \begin{prop}\label{valuation-rings-are-local-rings} -Si $R$ est un anneau de valuation, alors $R$ est un \defin[local - (anneau)]{anneau local}, c'est-à-dire qu'il a un unique idéal -maximal, à savoir le complémentaire dans $R$ de l'ensemble $R^\times$ -des unités de $R$. +Un anneau de valuation est un anneau local. \end{prop} \begin{proof} Pour $x\in R$, on sait que $x \not\in R^\times$ équivaut à $v(x) > 0$. Il s'ensuit que l'ensemble de ces $x$ est un idéal (c'est un groupe additif d'après la propriété (ii) de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}, et il est absorbant -pour la multiplication d'après la propriété (i)). Comme aucun idéal -autre que l'idéal unité ($R = (1)$) ne peut contenir d'élément -inversible, c'est le plus grand idéal strict (=différent de l'idéal -unité) pour l'inclusion, c'est donc bien le seul idéal maximal. +pour la multiplication d'après la propriété (i)). On conclut +par \ref{local-rings}. \end{proof} \thingy Le corps quotient d'un anneau local $R$ par son idéal maximal @@ -3931,9 +3982,9 @@ car on a $v(x^i) = i\,v(x)$, et si $a \in R$, comme $v(a) \geq 0$, on a $v(a x^i) \geq i\,v(x)$ ; par conséquent, si on a une relation $x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$, la valuation du terme $x^n$ est $n\,v(x)$ donc strictement plus petite que celle de n'importe quel -autre terme de la somme, ce qui interdit qu'elle puisse être nulle (on -utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} et le cas -d'égalité dans (ii)). Ceci montre une inclusion. +autre terme de la somme, ce qui interdit qu'elle puisse être nulle +(cf. \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}). Ceci montre une +inclusion. Montrons réciproquement que si $x$ n'est pas entier sur $A$ alors il existe un anneau de valuation de $K$ contenant $A$ auquel $x$ @@ -3951,21 +4002,25 @@ contienne $\mathfrak{p}$. En particulier, $v_R(y) > 0$, donc $v_R(x) < 0$, ce qui signifie $x \not\in R$, ce qu'on voulait montrer. \end{proof} +Les anneaux de valuation \emph{discrète} (ceux dont le groupe des +valeurs est $\mathbb{Z}$) ont des propriétés supplémentaires que n'ont +pas les anneaux de valuation en général : + \begin{prop}\label{discrete-valuation-rings-are-principal} Soit $\mathcal{O}$ un anneau de valuation \emph{discrète}, dont on note $\mathfrak{m}$ l'idéal maximal (cf. \ref{valuation-rings-are-local-rings}) et $v$ la valuation. Alors : \begin{itemize} -\item[(i)]un élément $t \in \mathcal{O}$ engendre $\mathfrak{m}$ en +\item[(a)]un élément $t \in \mathcal{O}$ engendre $\mathfrak{m}$ en tant qu'idéal si et seulement si $v(t) = 1$ (où $1$ désigne le plus petit élément strictement positif du groupe des valeurs, qui identifie ce dernier à $\mathbb{Z}$), et en fixant $t$ un élément comme on vient de dire (et il en existe), -\item[(ii)]tout élément $x$ de $K$ a une représentation unique sous la +\item[(b)]tout élément $x$ de $K$ a une représentation unique sous la forme $x = u t^r$ avec $u \in \mathcal{O}^\times$ et $r \in \mathbb{Z}$, auquel cas on a $r = v(x)$, -\item[(iii)]de même, tout idéal $I$ de $\mathcal{O}$ est l'idéal +\item[(c)]de même, tout idéal $I$ de $\mathcal{O}$ est l'idéal $\{x\in\mathcal{O} : v(x)\geq r\}$ engendré par $t^r$ (en particulier, $\mathcal{O}$ est principal). \end{itemize} @@ -3974,7 +4029,7 @@ Un élément $t$ tel que $v(t) = 1$ s'appelle une \defin{uniformisante} de l'anneau de valuation discrète $\mathcal{O}$. \end{prop} \begin{proof} -Montrons le (i). Si $t$ engendre $\mathfrak{m}$, alors clairement +Montrons le (a). Si $t$ engendre $\mathfrak{m}$, alors clairement $v(t) = 1$ car pour tout $x$ tel que $v(x) > 0$, on peut écrire $x = t z$ pour un certain $z \in \mathcal{O}$ (puisque $x \in \mathfrak{m}$ et que $t$ engerndre cet idéal), donc $v(x) \leq v(t)$ et $t$ est bien @@ -3987,7 +4042,7 @@ v(t)$ par la minimalité supposée de $v(t)$, c'est-à-dire $x/t \in L'existence de $t$ est simplement une conséquence de la définition de la valuation (ou de l'élément $1$ dans le groupe des valeurs). -Montrons maintenant le (ii). Si $v(x) = r$ alors $u := x/t^r$ est de +Montrons maintenant le (b). Si $v(x) = r$ alors $u := x/t^r$ est de valuation nulle, c'est-à-dire dans $\mathcal{O}^\times$. Réciproquement, si $x = u t^r$, on a $v(x) = v(u) + r v(t) = r$ puisque $v(u)=0$ et $v(t)=1$. @@ -3996,7 +4051,7 @@ Remarquons que les multiples de $u t^r$ dans $\mathcal{O}$ sont les éléments de la forme $uu' t^{r+r'}$ c'est-à-dire les éléments de valuation $\geq r$. -Montrons enfin le (iii). Si $x \in I$ a la plus petite valuation +Montrons enfin le (c). Si $x \in I$ a la plus petite valuation possible pour un élément de $I$, disons $x = u t^r$ comme on vient de voir, et alors $t^r \in I$ donc $I$ contient l'idéal engendré par $t^r$, qui d'après le paragraphe précédent est $\{x\in\mathcal{O} : @@ -4027,6 +4082,8 @@ indépendants sur $k(x_n)$, et en particulier le degré $[K : k(x_n)]$ := \mathcal{O}_v/\mathfrak{m}_v$ est le corps résiduel de la place $v$. \end{lem} +(Voir aussi le théorème \ref{degree-identity} plus bas pour une +généralisation de (B) et (C).) \begin{proof} Pour ce qui est de (A), commençons par supposer $v(x) < 0$ et cherchons à montrer la transcendance de $x$ : on a $v(x^i) = i\,v(x)$, @@ -4035,15 +4092,15 @@ au-dessus de $k$), on a $v(a x^i) = i\,v(x)$ ; par conséquent, si on a une relation $x^n + a_1 x^{n-1} + \cdots + a_n = 0$, la valuation du terme $x^n$ est $n\,v(x)$ donc strictement plus petite que celle de n'importe quel autre terme de la somme, ce qui interdit qu'elle puisse -être nulle (on utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} -et le cas d'égalité dans (ii)). Le cas $v(x) > 0$ s'en déduit en -passant à $x^{-1}$ (l'inverse d'un algébrique étant encore algébrique, +être nulle (cf. \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}). Le cas +$v(x) > 0$ s'en déduit en passant à $x^{-1}$ (l'inverse d'un +algébrique étant encore algébrique, cf. \ref{relative-algebraic-closure}). Enfin, une fois connu le fait que $x$ est transcendant, donc une \emph{base} de transcendance de $K$ sur $k$ (cf. \ref{transcendence-basis-facts} (1a) et (3)), l'extension $k(x) \subseteq K$ est algébrique, et comme elle est aussi de type fini, elle est \emph{finie} -(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(1)). Ceci démontre (A). +(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(2)). Ceci démontre (A). Passons à l'affirmation (B) : supposons qu'on ait $f_1 x_1 + \cdots + f_n x_n = 0$ avec $f_i \in k(x_n)$ non tous nuls. Posons $x := x_n$. @@ -4057,7 +4114,8 @@ $c_j x_j + \cdots + c_n x_n + g_1 x x_1 + \cdots + g_n x x_n = 0$. Or la valuation $v(c_j x_j) = v(x_j)$ est strictement plus petite que celle de n'importe quel autre terme dans cette somme (puisque $v(g_i) \geq 0$ et $v(x x_i) = v(x_n) + v(x_i) > v(x_n) \geq v(x_j)$), ce qui -interdit que la somme puisse être nulle. Ceci démontre (B). +interdit que la somme puisse être nulle +(cf. \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings}). Ceci démontre (B). Pour ce qui est de (C) : considérons des éléments $b_1,\ldots,b_n$ de $\varkappa_v$ qui sont linéairement indépendants sur $k$, et soient @@ -4224,9 +4282,9 @@ irréductibles (si $f \in k[t]$, c'est bien l'exposant de la décomposition en produit d'irréductibles, et pour une fraction rationnelle $f/g$ on peut définir $v_h(f/g) = v_h(f) - v_h(g)$ sachant qu'au plus un de ces termes sera non-nul lorsque $f/g$ est en forme -irréductible). Si on préfère, on peut aussi le noter $v_\xi(f)$ où -$\xi$ est une racine quelconque de $h$ dans une clôture algébrique -$k^{\alg}$ fixée. +irréductible, cf. \ref{valuations-on-integral-domains}). Si on +préfère, on peut aussi le noter $v_\xi(f)$ où $\xi$ est une racine +quelconque de $h$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée. Il est facile de vérifier que ces $v_h$ sont bien des valuations au sens de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} (il suffit par @@ -4237,21 +4295,25 @@ k(t) : v_h(f) \geq 0\}$ (c'est-à-dire l'ensemble des fractions rationnelles dont $h$ ne divise pas le dénominateur réduit) est bien un anneau de valuation. -Le corps résiduel $\varkappa_h$ de la place $v_h$ n'est autre que le -corps de rupture $k[t]/(h)$ de $h$ sur $k$ (si $\deg h = 1$, c'est -simplement $k$) : en effet, \textit{a priori} $\varkappa_h = R_h/(h)$, +\thingy Le corps résiduel $\varkappa_h$ de la place $v_h$ n'est autre +que le corps de rupture $k[t]/(h)$ de $h$ sur $k$ (si $\deg h = 1$, +c'est simplement $k$). En effet, on a \textit{a priori} $\varkappa_h += R_h/(h)$ (cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(a)) ; mais en fait tout élément de $R_h$ peut s'écrire sous la forme $f/g$ avec $g$ non multiple de $h$, et quitte à utiliser une relation de Bézout $u g + w h = 1$ (avec $u,w \in k[t]$), on voit que $f/g$ est la -somme de $uf \in k[t]$ et de $w\frac{f}{g} h \in h R_h$, si bien que -finalement $R_h/(h) = k[t]/(h)$. Ce qu'on a appelé degré de la place -$v_h$ est donc simplement le degré de $h$ ; et les places rationnelles -sont les $v_h$ avec $\deg h = 1$, c'est-à-dire, en fait, l'évaluation -en un certain point $x \in k$ (si $h(t) = t-x$ : on rappelle que le -reste de la division euclidienne de $f\in k[t]$ par $t-x$ est -simplement $f(x)$). La valeur de $f$ en la place $v_\xi$ définie par -un $\xi \in k^{\alg}$ (c'est-à-dire par son polynôme minimal $h$) peut -s'identifier à la valeur $f(\xi)$ dans le corps $k(\xi) = k[t]/(h)$. +somme de $u f \in k[t]$ et de $w\frac{f}{g} h \in h R_h$, si bien que +finalement $R_h/(h) = k[t]/(h)$. + +Ce qu'on a appelé degré de la place $v_h$ est donc simplement le degré +de $h$ ; et les places rationnelles parmi les $v_h$ sont celles avec +$\deg h = 1$, c'est-à-dire, en fait, l'évaluation en un certain point +$x \in k$ (si $h(t) = t-x$ : on rappelle que le reste de la division +euclidienne de $f\in k[t]$ par $t-x$ est simplement $f(x)$). Plus +généralement, le paragraphe précédent montre que la valeur de $f$ en +la place $v_\xi$ définie par un $\xi \in k^{\alg}$ (c'est-à-dire par +son polynôme minimal $h$) peut s'identifier à la valeur $f(\xi)$ dans +le corps $k(\xi) = k[t]/(h)$. \thingy Il existe une autre valuation non-triviale de $k(t)$ au-dessus de $k$, à savoir celle qui à une fraction rationnelle $f/g$ associe la @@ -4261,11 +4323,11 @@ numérateur. On la notera $v_\infty$. L'anneau de valuation $R_\infty$ associé est l'anneau des fractions rationnelles dont le degré du dénominateur est supérieur ou égal à celui du numérateur, et le corps résiduel est simplement $k$, le -morphisme d'évaluation $R_\infty/(\frac{1}{t})$ étant donné par la -valeur de la fraction rationnelle en $\infty$ (telle que définie -en \ref{function-field-of-the-line}). On peut s'en convaincre en -remplaçant $t$ par $\frac{1}{t}$, ce qui définit un automorphisme de -$k(t)$ transformant la place $v_0$ en $v_\infty$ et vice versa. +morphisme d'évaluation dans $R_\infty/(\frac{1}{t}) = k$ étant donné +par la valeur de la fraction rationnelle en $\infty$ (telle que +définie en \ref{function-field-of-the-line}). On peut s'en convaincre +en remplaçant $t$ par $\frac{1}{t}$, ce qui définit un automorphisme +de $k(t)$ transformant la place $v_0$ en $v_\infty$ et vice versa. On vient de construire un certain nombre de places de $k(t)$ : en fait, ce sont les seules : @@ -4310,7 +4372,7 @@ valeur $1$ doit être atteinte. \thingy Pour comprendre le théorème suivant, il faut se rappeler que si $v$ est une valuation, dire que $v(f-g)$ est grand signifie que $f$ -et $g$ sont « très proches autour de $v$ » : par exemple, pour des +et $g$ sont « très proches au sens de $v$ » : par exemple, pour des fractions rationnelles, $v_\xi(f-g) \geq r$ signifie que les développements limités de $f$ et $g$ en $\xi$ coïncident jusqu'à l'ordre $r-1$ (c'est-à-dire jusqu'à un terme d'erreur @@ -4452,16 +4514,23 @@ est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) + conclut la récurrence. \end{proof} -\begin{thm} +\begin{thm}\label{degree-identity} Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soit $x \in K$ non -constant et soient $v_1,\ldots,v_n$ les places où $x$ a un zéro -(c'est-à-dire $v_i(x) \geq 0$). Alors +constant (cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}) : alors l'ensemble +des places où $x$ a un zéro (c'est-à-dire $v(x) > 0$) est fini, et si +on les note $v_1,\ldots,v_n$, on a : \[ \sum_{i=1}^n v_i(x)\,\deg(v_i) = [K : k(x)] \] \end{thm} +(Rappelons que $[K : k(x)]$ est fini, +cf. \ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve}(A).) \begin{proof} -Les deux inégalités se démontrent indépendamment. +Les deux inégalités se démontrent indépendamment. Dans +l'inégalité $\leq$, on n'utilisera pas le fait que $v_1,\ldots,v_n$ +soient \emph{toutes} les places où $x$ a un zéro, ce qui prouvera, en +particulier, qu'il y en a bien un nombre fini (majoré par $[K : + k(x)]$). \emph{Montrons d'abord l'inégalité $\geq$.} @@ -4538,6 +4607,20 @@ nul. Mais ceci contredit l'indépendance linéaire sur $k$ des $z_{i,u}(v_i) \in \varkappa_i$. \end{proof} +\begin{cor} +Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soit $x \in K$ non +nul. Alors l'ensemble des places où $x$ a un zéro ou un pôle est +fini. +\end{cor} +\begin{proof} +Si $x$ est constante (cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}), le +résultat est trivial (l'ensemble des pôles est vide, et l'ensemble des +zéros est vide si $x\neq 0$). Si $x$ n'est pas constant, le +théorème \ref{degree-identity} montre que l'ensemble des zéros a pour +cardinal au plus $[K : k(x)]$, qui est fini ; et pour ce qui est des +pôles, il suffit de remplacer $x$ par $x^{-1}$. +\end{proof} + % TODO: |