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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 4c335c4..89a3a03 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -15,6 +15,10 @@ \usepackage{wasysym} \usepackage{url} % +\usepackage{makeidx} +%% Self-note: compile index with: +%% xindy -M texindy -C utf8 -L french notes-accq205.idx +% \usepackage{graphics} \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} @@ -56,8 +60,11 @@ \newcommand{\danger}{\noindent\hangindent\parindent\hangafter=-2% \hbox to0pt{\hskip-\hangindent\dbend\hfill}} % +\newcommand{\defin}[2][]{\def\latexsucks{#1}\ifx\latexsucks\empty\index{#2}\else\index{\latexsucks}\fi\textbf{#2}} +% % % +\makeindex \begin{document} \title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)} \author{David A. Madore} @@ -99,14 +106,14 @@ Git: \input{vcline.tex} \thingy Sauf précision expresse du contraire, tous les anneaux considérés sont commutatifs et ont un élément unité (noté $1$). Il existe un unique anneau dans lequel $0=1$, c'est l'anneau réduit à un -seul élément, appelé l'\textbf{anneau nul}. (Pour tout anneau $A$, il +seul élément, appelé l'\defin[nul (anneau)]{anneau nul}. (Pour tout anneau $A$, il existe un unique morphisme de $A$ vers l'anneau nul ; en revanche, il n'existe un morphisme de l'anneau nul vers $A$ que si $A$ est lui-même l'anneau nul.) -\thingy Si $k$ est un anneau, une \textbf{$k$-algèbre} (là aussi : +\thingy Si $k$ est un anneau, une \defin[algèbre]{$k$-algèbre} (là aussi : implicitement commutative) est la donnée d'un morphisme d'anneaux $k -\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \textbf{morphisme structural} de +\buildrel\varphi_A\over\to A$ appelé \defin[structural (morphisme)]{morphisme structural} de l'algèbre. On peut multiplier un élément de $A$ par un élément de $k$ avec : $c\cdot x = \varphi_A(c)\,x \in A$ (pour $c\in k$ et $x\in A$). Un morphisme de $k$-algèbres est un morphisme d'anneaux @@ -131,19 +138,19 @@ automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle. \thingy\label{regular-elements-and-prime-ideals} Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est -dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto +dit \defin[régulier (élément d'un anneau)]{régulier}, resp. \defin{inversible}, lorsque $x \mapsto ax$ est injectif, resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$ implique $x = 0$ (la réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il existe $x$ (appelé inverse de $a$) tel que $ax = 1$. Un anneau dans $A$ dans lequel l'ensemble des éléments régulier est égal à l'ensemble $A \setminus \{0\}$ des éléments non-nuls est appelé -anneau \textbf{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un +anneau \defin[intègre (anneau)]{intègre} : autrement dit, un anneau intègre est un anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) $ab = 0$ implique $a=0$ ou $b=0$ (la réciproque est toujours vraie). Par convention, l'anneau nul n'est pas intègre. -Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{premier} +Un idéal $\mathfrak{p}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[premier (idéal)]{premier} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{p}$ est un anneau intègre, autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in \mathfrak{p}$ implique $a \in \mathfrak{p}$ ou $b \in \mathfrak{p}$ @@ -151,9 +158,9 @@ autrement dit lorsque $\mathfrak{p}\neq A$ et que $ab \in \thingy\label{fields-and-maximal-ideals} Dans un anneau (toujours sous-entendu commutatif...), l'ensemble noté $A^\times$ des éléments inversibles est un groupe, -aussi appelé groupe des \textbf{unités} de $A$. +aussi appelé groupe des \defin[unité (dans un anneau)]{unités} de $A$. -Un \textbf{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ +Un \defin{corps} est un anneau $k$ dans lequel l'ensemble $k^\times$ des éléments inversibles est égal à l'ensemble $k\setminus\{0\}$ des éléments non-nuls : autrement dit, un corps est un anneau dans lequel ($0\neq 1$ et) tout élément non-nul est inversible. De façon @@ -163,7 +170,7 @@ un corps. Un corps est, en particulier, un anneau intègre. -Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{maximal} +Un idéal $\mathfrak{m}$ d'un anneau $A$ est dit \defin[maximal (idéal)]{maximal} lorsque l'anneau quotient $A/\mathfrak{m}$ est un corps : de façon équivalente, lorsque $\mathfrak{m}\neq A$ et que $\mathfrak{m}$ est maximal pour l'inclusion parmi les idéaux $\neq A$. Un idéal maximal @@ -229,14 +236,14 @@ de conclure. \end{proof} \thingy\label{nilpotent-element-and-reduced-ring} Un élément $x$ d'un -anneau $A$ est dit \textbf{nilpotent} lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel +anneau $A$ est dit \defin{nilpotent} lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel que $x^n = 0$ (un anneau dans lequel le seul élément nilpotent est $0$ -est dit \textbf{réduit}). +est dit \defin[réduit (anneau)]{réduit}). \begin{prop}\label{nilradical-facts} Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal : cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de l'anneau. -(On l'appelle le \textbf{nilradical} de l'anneau.) +(On l'appelle le \defin{nilradical} de l'anneau.) Le quotient de l'anneau par son nilradical est réduit. \end{prop} @@ -275,7 +282,7 @@ alors cet élément lui-même est nilpotent, ce qui est évident. \end{proof} \thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$, -dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les +dit \index{fractions (corps des)}\defin{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A \setminus\{0\}$, en convenant d'identifier $\frac{a}{q}$ avec $\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$ @@ -303,7 +310,7 @@ Ainsi, $\Frac(A)$ est \emph{engendré en tant que corps} par les \thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est -appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois +appelé corps des \defin{fractions rationnelles} (ou parfois « fonctions rationnelles ») en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur $k$, et noté $k(t_1,\ldots,t_n)$. @@ -316,16 +323,16 @@ multiplication par un $a\in K$, on voit que tout élément régulier est inversible. \thingy\label{gauss-lemma-on-irreducibility} Rappelons par ailleurs le -\textbf{lemme de Gauß} concernant les polynômes irréductibles : si $A$ +\defin[Gauß (lemme de)]{lemme de Gauß} concernant les polynômes irréductibles : si $A$ est un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions, alors l'anneau $A[t]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$ est factoriel ; et par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible (dans $A[t]$) si et seulement si $f$ est constant et irréductible dans $A$, \emph{ou bien} $f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$} et le pgcd (dans $A$) des -coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \textbf{primitif} +coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \defin[primitif (polynôme)]{primitif} lorsque cette dernière condition est vériifée). Le point-clé dans la démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$ des coefficients d'un -polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \textbf{contenu} de $f$, est +polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \defin{contenu} de $f$, est multiplicatif (i.e., $c(fg) = c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en facteurs irréductibles dans $A[t]$ d'un élément de $A[t]$ s'obtient alors à partir de celle de $K[t]$ et de celle dans $A$ du contenu. @@ -347,11 +354,11 @@ $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $A$, l'intersection de toutes les sous-$k$-algèbres de $A$ contenant les $x_i$ est encore une sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$, c'est-à-dire que c'est la plus petite sous-$k$-algèbre de $A$ contenant les $x_i$. On l'appelle -$k$-algèbre \textbf{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note +$k$-algèbre \defin[engendrée (algèbre)]{engendrée} (dans $A$) par les $x_i$ et on la note $k[x_i]_{i\in I}$. Lorsque les $x_i$ sont en nombre fini (le cas qui nous intéressera le plus), disons indicés par $1,\ldots,n$, on note $k[x_1,\ldots,x_n]$, et on dit que $k[x_1,\ldots,x_n]$ est une -$k$-algèbre \textbf{de type fini} (en tant que $k$-\emph{algèbre}). +$k$-algèbre \defin[type fini (algèbre)]{de type fini} (en tant que $k$-\emph{algèbre}). \danger On prendra garde au fait que la même notation $k[x_1,\ldots,x_n]$ peut désigner soit la $k$-algèbre engendrée @@ -397,17 +404,17 @@ cette $k$-algèbre est engendrée par $1, x, xy, xy^2, xy^3,\ldots$ et on peut montrer qu'aucun nombre fini de ses éléments ne suffit à l'engendrer. -\thingy Une \textbf{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k +\thingy Une \defin{extension de corps} est un morphisme d'anneaux $k \to K$ entre corps (c'est-à-dire que $K$ est une $k$-algèbre qui est un corps). Un tel morphisme est automatiquement injectif (car son noyau est un idéal d'un corps qui ne contient pas $1$), et qui peut donc être considéré comme une inclusion : on notera soit $k \subseteq K$ soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, -on dit aussi que $k$ est un \textbf{sous-corps} de $K$. Un -\textbf{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou -encore \textbf{sous-extension}, est, naturellement, une extension de +on dit aussi que $k$ est un \defin{sous-corps} de $K$. Un +\defin[intermédiaire (corps)]{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou +encore \defin{sous-extension}, est, naturellement, une extension de corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$ ; on dit aussi que $k -\subseteq E \subseteq K$ est une \textbf{tour} d'extensions (et de +\subseteq E \subseteq K$ est une \defin[tour d'extensions]{tour} d'extensions (et de même pour n'importe quel nombre de corps intermédiaires). \thingy\label{subfield-generated} Si $k \subseteq K$ est une extension @@ -415,11 +422,11 @@ de corps, et $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $K$, l'intersection de tous les sous-corps de $K$ contenant $k$ et les $x_i$ est encore un sous-corps de $K$ contenant $k$ et les $x_i$, c'est-à-dire que c'est le plus petit corps intermédiaire contenant -les $x_i$. On l'appelle sous-extension \textbf{engendrée} (dans $K$) +les $x_i$. On l'appelle sous-extension \defin[engendrée (sous-extension)]{engendrée} (dans $K$) par les $x_i$ et on la note $k(x_i)_{i\in I}$. Lorsque les $x_i$ sont en nombre fini (le cas qui nous intéressera le plus), disons indicés par $1,\ldots,n$, on note $k(x_1,\ldots,x_n)$, et on dit que -$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \textbf{de type fini} +$k(x_1,\ldots,x_n)$ est une extension de $k$ \defin[type fini (extension de corps)]{de type fini} (en tant qu'extension de \emph{corps}). \danger On prendra garde au fait que la même notation @@ -464,7 +471,7 @@ de type fini. Mais ce n'est pas évident ! (Cela sera démontré en une extension de corps et $x\in K$, on a noté (cf. \ref{subfield-generated}) $k(x)$ l'extension de $k$ engendrée par $x$. On dira aussi que $k \subseteq k(x)$ est une extension -\textbf{monogène} (certains auteurs utilisent « simple », notamment en +\defin[monogène (extension)]{monogène} (certains auteurs utilisent « simple », notamment en anglais). On se pose la question de mieux comprendre cette extension. Pour @@ -476,7 +483,7 @@ $\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Exactement l'un des deux cas suivants se produit : \begin{itemize} \item Soit $\varphi$ est injectif (=son noyau est nul), auquel cas on - dit que $x$ est \textbf{transcendant} sur $k$. Dans ce cas, d'après + dit que $x$ est \defin{transcendant} sur $k$. Dans ce cas, d'après la propriété universelle du corps des fractions (cf. \ref{universal-property-of-fraction-field}), $\varphi$ se prolonge de manière unique en une extension de corps $k(t) \to K$ @@ -487,12 +494,12 @@ suivants se produit : d'identifier $k(x)$ avec le corps des fractions rationnelles en une indéterminée (i.e., de considérer $x$ comme une indéterminée). \item Soit le noyau de $\varphi$ est engendré par un unique polynôme - unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \textbf{polynôme minimal} - de $x$, et alors $x$ est dit \textbf{algébrique} (ou - \textbf{entier}) sur $k$. Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$ + unitaire $\mu_x\in k[t]$, qu'on appelle le \defin{polynôme minimal} + de $x$, et alors $x$ est dit \defin[algébrique (élément)]{algébrique} (ou + \defin[entier (élément)]{entier}) sur $k$. Alors l'image $k[x]$ de $\varphi$ (cf. \ref{subalgebra-generated-is-polynomials}) s'identifie à $k[t]/(\mu_x)$, une $k$-algèbre de dimension $\deg\mu_x$ finie - sur $k$, qu'on appelle le \textbf{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$ + sur $k$, qu'on appelle le \defin[degré (d'un élément)]{degré} de $x$ ; mais comme $k[x]$ est intègre (puisque c'est une sous-algèbre d'un corps), et de dimension finie, c'est un corps (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) : on a donc $k(x) = @@ -516,7 +523,7 @@ alors $k[t]/(\mu)$ est une $k$-algèbre de dimension finie intègre donc (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$ -est appelé \textbf{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$ +est appelé \index{rupture (corps de)}\defin{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$ sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut encore parler de corps de rupture quitte à diviser par le coefficient dominant ; en revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va de soi que le @@ -525,11 +532,11 @@ degré $1$ (précisément, si $\mu = t-a$ alors l'élément $x := \bar t$ de $k(x) = k[t]/(\mu)$ s'identifie avec $a \in k$). \thingy Une extension de corps $k\subseteq K$ est dite -\textbf{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique +\defin[algébrique (extension)]{algébrique} lorsque chaque élément de $K$ est algébrique sur $k$. On dit aussi que $K$ est algébrique « au-dessus de » $k$ ou « sur » $k$. -Un corps $k$ est dit \textbf{algébriquement clos} lorsque la seule +Un corps $k$ est dit \defin{algébriquement clos} lorsque la seule extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$. @@ -540,8 +547,8 @@ algébriquement clos (« théorème de D'Alembert-Gauß »). \thingy\label{degree-and-finite-extensions} Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, on peut considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie ou infinie) est notée $[K:k]$ et -appelée \textbf{degré} de l'extension. Une extension de degré fini -est aussi dite \textbf{finie} (ainsi, on pourra dire simplement que +appelée \defin[degré (d'une extension)]{degré} de l'extension. Une extension de degré fini +est aussi dite \defin[finie (extension)]{finie} (ainsi, on pourra dire simplement que $K$ est « fini sur $k$ » pour dire que son degré est fini). Il va de soi qu'une sous-extension d'une extension finie est encore finie. @@ -609,10 +616,10 @@ de $k$ engendrée par tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$ est tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ algébriques sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui est manifestement la plus grande extension intermédiaire algébrique -sur $k$ : on l'appelle la \textbf{fermeture algébrique} de $k$ +sur $k$ : on l'appelle la \defin{fermeture algébrique} de $k$ dans $K$ (la précision « dans $K$ » est importante). -Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \textbf{algébriquement +Si c'est précisément $k$, on dit que $k$ est \defin{algébriquement fermé} dans $K$ : autrement dit, cela signifie que tout élément de $K$ est soit transcendant sur $k$ soit élément de $k$ (=algébrique de degré $1$). Un corps algébriquement clos est algébriquement fermé @@ -643,7 +650,7 @@ plus bas pour une réinterprétation des résultats de cette section.) \begin{defn}\label{definition-linear-disjointness} Si $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux extensions contenues -dans une même troisième $M$, on dit qu'elles sont \textbf{linéairement +dans une même troisième $M$, on dit qu'elles sont \defin[linéairement disjointes (extensions)]{linéairement disjointes} lorsque toute famille d'éléments de $K$ linéairement indépendante sur $k$ est encore linéairement indépendante sur $L$ quand on la voit comme une famille d'éléments de $M$. (Il suffit, @@ -702,7 +709,7 @@ linéairement disjointes. \thingy\label{definition-compositum} Lorsque $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ sont deux extensions contenues dans une même -troisième $M$, on appelle \textbf{composé} des corps $K$ et $L$ le +troisième $M$, on appelle \defin{composé} des corps $K$ et $L$ le sous-corps de $M$ engendré par $K$ et $L$, autrement dit $k(K \cup L) = K(L) = L(K)$, et on le note $K.L$. @@ -824,7 +831,7 @@ de \ref{base-of-compositum}. \begin{defn}\label{definition-transcendence-basis} Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, une famille finie -$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement +$x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \defin[algébriquement indépendante (famille)]{algébriquement indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que @@ -844,7 +851,7 @@ relation de dépendance algébrique entre les $x_i$, c'est-à-dire entre un nombre fini d'entre eux). Une famille $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $K$ est appelée -\textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est +\defin{base de transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique au-dessus de l'extension $k(x_i)_{i\in I}$ de $k$ engendrée par les $x_i$. @@ -869,7 +876,7 @@ finie quelconque d'entre elles.) \thingy Lorsque les $(x_i)_{i\in I}$ sont algébriquement indépendants, on dit aussi que l'extension $k \subseteq k(x_i)_{i\in I}$ est -\textbf{transcendante pure} : autrement dit, une extension +\defin[transcendante pure (extension)]{transcendante pure} : autrement dit, une extension transcendante pure est un corps de fractions rationnelles en un nombre quelconque (peut-être infini, cf. ci-dessus) de variables. @@ -1005,7 +1012,7 @@ est équipotent à l'ensemble de ses parties finies). \begin{defn}\label{definition-transcendence-degree} Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne -dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de +dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \defin{degré de transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$. \end{defn} @@ -1110,7 +1117,7 @@ annoncé. \begin{defn} Soit $K$ un corps et $\mu \in K[t]$ un polynôme irréductible. On -appelle \textbf{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K +appelle \index{rupture (corps de)}\defin{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K \subseteq L$ telle que $\mu$ admette une racine $x$ dans $K$ pour laquelle $L = K(x)$. (Bien sûr, $\mu$ est alors le polynôme minimal de $x$ sur $K$.) @@ -1150,7 +1157,7 @@ est un corps contenant $K$ et $x'$ et qu'on a $L' = K(x')$. \begin{defn}\label{definition-decomposition-field} Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque. On appelle -\textbf{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K +\index{décomposition (corps de)}\defin{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K \subseteq L$ telle que $f$ soit scindé (=complètement décomposé) sur $L$, i.e., $f = c\prod_{i=1}^n (t-x_i)$ (avec $c$ le coefficient dominant de $f$, et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et @@ -1258,7 +1265,7 @@ L'intérêt principal de la proposition qu'on vient de démontrer est de montrer l'existence et l'unicité de la clôture algébrique : \begin{defn}\label{definition-algebraic-closure} -Soit $K$ un corps. On appelle \textbf{clôture algébrique} de $K$ une +Soit $K$ un corps. On appelle \defin{clôture algébrique} de $K$ une extension $K \subseteq L$ algébrique telle que tout polynôme de $K[t]$ soit scindés sur $L$. \end{defn} @@ -1309,7 +1316,7 @@ de façon « canonique » de les identifier). \subsection{Éléments et extensions algébriques séparables} -\thingy On rappelle que la \textbf{caractéristique} d'un corps $k$ est +\thingy On rappelle que la \defin{caractéristique} d'un corps $k$ est le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneaux $\mathbb{Z} \to k$ : plus concrètement, c'est le plus petit entier $p$ tel que $p = 0$ dans $k$ (au sens où $1 + 1 + \cdots + 1 = 0$ avec $p$ @@ -1318,7 +1325,7 @@ c'est soit $0$ soit un nombre premier (positif). Si $k$ est de caractéristique $p>0$, alors l'application $\Frob_p\colon k \to k$ définie par $x \mapsto x^p$, ou -\textbf{Frobenius} d'exposant $p$, est un morphisme de corps, i.e., on +\defin{Frobenius} d'exposant $p$, est un morphisme de corps, i.e., on a $(x+y)^p = x^p + y^p$ et $(xy)^p = x^p y^p$ ; en particulier, il est injectif. On notera $k^p$ l'image de ce morphisme (cf. \ref{definition-perfect-field}), qui est donc un sous-corps @@ -1330,7 +1337,7 @@ et peut se noter indifféremment $\Frob_{p^e}$ ou $\Frob_p^e$. Son image se note bien sûr $k^{p^e}$. \thingy Si $k$ est un corps, et $f \in k[t]$ un polynôme en une -indéterminée sur $k$, on dit que $f$ est \textbf{séparable} lorsque +indéterminée sur $k$, on dit que $f$ est \defin[séparable (polynôme)]{séparable} lorsque $f$ est premier avec sa dérivée $f'$ : ceci revient à dire que les racines de $f$ sont simples (=sans multiplicité) dans une extension où $f$ est scindé (cf. \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}). @@ -1410,7 +1417,7 @@ irréductible dans $k^p[t]$ donc que $f$ l'est dans $k[t]$. \thingy\label{definition-separable-element} Lorsque $k \subseteq K$ est une extension de corps, un élément $x \in K$ algébrique sur $k$ -est dit \textbf{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal +est dit \defin[séparable (élément)]{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal l'est. D'après ce qu'on a dit ci-dessus, en caractéristique $0$, tout algébrique est séparable ; et en caractéristique $p$, pour tout algébrique $x$ il existe un $e$ unique tel que $x^{p^e}$ soit @@ -1466,7 +1473,7 @@ les choses qui va inspirer l'énoncé et la démonstration de \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}. \thingy\label{definition-separable-algebraic-extension} Une extension -de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \textbf{séparable} (ou +de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \defin[séparable (extension)]{séparable} (ou que $K$ est séparable sur / au-dessus de $k$) lorsque tout élément de $K$ est séparable sur $k$ (cf. \ref{definition-separable-element}). C'est, bien sûr, toujours le cas en caractéristique $0$. @@ -1598,17 +1605,17 @@ sur $k$ est tout simplement l'\emph{ensemble} de tous les éléments de $K$ algébriques séparables sur $k$, c'est-à-dire que cet ensemble est un corps, qui est manifestement la plus grande extension intermédiaire algébrique séparable sur $k$ : on l'appelle la -\textbf{fermeture [algébrique] séparable} de $k$ dans $K$. +\defin[fermeture séparable]{fermeture [algébrique] séparable} de $k$ dans $K$. La fermeture séparable de $k$ dans une clôture algébrique de $k$ -(cf. \ref{definition-algebraic-closure}) s'appelle \textbf{clôture +(cf. \ref{definition-algebraic-closure}) s'appelle \defin{clôture séparable} de $k$. Si $k$ est égal à sa clôture séparable (i.e., séparablement fermé dans une clôture algébrique), on dit que $k$ est -\textbf{séparablement clos}. +\defin{séparablement clos}. \thingy Une extension algébrique $k \subseteq K$ telle que $k$ soit égal à sa propre fermeture séparable dans $K$ (i.e. séparablement -fermé \emph{dans $K$}) est dite \textbf{purement inséparable}. Dans +fermé \emph{dans $K$}) est dite \defin{purement inséparable}. Dans ce cas, en notant $p>0$ la caractéristique, le polynôme minimal sur $k$ d'un élément quelconque de $K$ est de la forme $t^{p^e} - c$ pour un $c \in k$ (car si $f$ est le polynôme minimal de $x \in K$ et @@ -1619,11 +1626,11 @@ réciproquement, si cette condition est vérifiée, l'extension est purement inséparable (car un polynôme de la forme $t^{p^e} - c$ n'est séparable que pour $e=0$). -\thingy On pourrait définir la notion de \textbf{degré séparable} +\thingy On pourrait définir la notion de \defin{degré séparable} d'une extension algébrique $k \subseteq K$, qui est le degré sur $k$ de la fermeture séparable $k'$ de $k$ dans $K$, soit $[K:k]_{\sep} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}} -:= [K:k']$ le \textbf{degré inséparable}). Les degrés séparables (et +:= [K:k']$ le \defin{degré inséparable}). Les degrés séparables (et les degrés inséparables) se multiplient comme les degrés (cf. \ref{remark-multiplicativity-of-degree}) : nous ne ferons pas la démonstration, mais le point-clé est que si $k\subseteq K$ est une @@ -1640,7 +1647,7 @@ ce qui se voit de façon analogue \subsection{Corps parfaits, théorème de l'élément primitif} \begin{defn}\label{definition-perfect-field} -Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de +Un corps $k$ est dit \defin[parfait (corps)]{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le morphisme de Frobenius, $\Frob\colon x\mapsto x^p$, est surjectif $k \to k$, i.e. tout élément a une racine $p$-ième (automatiquement @@ -1820,11 +1827,11 @@ l'élément $x_{d+1}$ est séparable. \thingy\label{definition-conjugate-elements} Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$ -deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \textbf{conjugués} sur $K$ +deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \defin[conjugués (éléments)]{conjugués} sur $K$ lorsqu'ils ont le même polynôme minimal sur $K$, autrement dit, lorsque l'un est racine du polynôme minimal de l'autre (il s'agit d'une relation d'équivalence dont les classes sont parfois appelées -\textbf{classes de conjugaison} au-dessus de $K$). De façon +\defin[conjugaison (classe de)]{classes de conjugaison} au-dessus de $K$). De façon équivalente, deux éléments $x,x'$ de $L$ sont conjugués lorsque tout polynôme de $K[t]$ qui s'annule sur l'un s'annule aussi sur l'autre. @@ -1846,7 +1853,7 @@ $r\in\{0,1,2\}$ avec $\zeta$ une racine primitive cubique de l'unité les $\Frob_p^r(x) = x^{p^r}$ pour $0\leq r \leq d-1$. \thingy\label{definition-normal-extension} Une extension de corps $K -\subseteq L$ algébrique est dite \textbf{normale} lorsqu'elle vérifie +\subseteq L$ algébrique est dite \defin[normale (extension)]{normale} lorsqu'elle vérifie les propriétés suivantes dont on peut montrer qu'elles sont équivalentes : \begin{itemize} @@ -1874,7 +1881,7 @@ de rupture de $t^3 - 2$, c'est une extension de degré $3$, donc ne contenant pas de racine primitive cubique $\zeta$ de l'unité qui est algébrique de degré $2$). -(On appelle \textbf{fermeture normale} de $L$ au-dessus de $K$ +(On appelle \defin{fermeture normale} de $L$ au-dessus de $K$ dans $L^{\alg}$ le corps de décomposition des polynômes minimaux sur $K$ de tous les éléments de $L$, i.e., le sous-corps de $L^{\alg}$ engendré par tous les conjugués de tous les éléments de $L$, ou encore @@ -1887,7 +1894,7 @@ $\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[3]{2})$ de décomposition de $t^3 - 2$.) \thingy Une extension algébrique $K \subseteq L$ qui soit à la fois normale (cf. \ref{definition-normal-extension}) et séparable (cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}) est dite -\textbf{galoisienne}. +\defin[galoisienne (extension)]{galoisienne}. À titre d'exemple, une clôture séparable $K \subseteq K^{\sep}$ de $K$ fournit une extension galoisienne (elle est séparable par définition, @@ -1897,14 +1904,14 @@ si $K$ est parfait, la clôture séparable coïncide avec la clôture algébrique. \thingy Si $K \subseteq L$ est une extension galoisienne, on appelle -\textbf{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq +\defin[Galois (groupe de)]{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$, ou $K$-automorphismes de $L$, c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes de $K$-algèbres $L \to L$ (automorphismes de $L$ = isomorphismes de $L$ sur lui-même), c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes de $L$ qui soient l'identité sur $K$. Lorsque $L$ est la clôture séparable de $K$, on dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de -Galois \textbf{absolu} de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois +Galois \defin[absolu (groupe de Galois)]{absolu} de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois $\Gamma_K$. Les deux exemples suivant sont essentiels : le groupe de Galois de @@ -2114,7 +2121,7 @@ degré $n!$). Soit $G$ un groupe ou même simplement un monoïde (=ensemble muni d'une opération binaire associative avec un élément unité), noté multiplicativement, et $L$ un corps. Soient $\chi_1,\ldots,\chi_n$ -des \textbf{caractères} de $G$ dans $L$, c'est-à-dire des morphismes +des \defin[caractère]{caractères} de $G$ dans $L$, c'est-à-dire des morphismes $G \to L^\times$ (autrement dit, des applications $\chi\colon G\to L^\times$ telles que $\chi(1) = 1$ et $\chi(g_1 g_2) = \chi(g_1)\,\chi(g_2)$). On suppose que les $\chi_1,\ldots,\chi_n$ @@ -2149,7 +2156,7 @@ contredisant la minimalité de $n$. \subsection{Anneaux noethériens} -\thingy Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{de type fini} (en +\thingy Un idéal $I$ d'un anneau $A$ est dit \defin[type fini (idéal)]{de type fini} (en tant qu'\emph{idéal}) lorsqu'il est engendré (en tant qu'idéal !, c'est-à-dire en tant que sous-module de $A$) par un nombre fini d'éléments, autrement dit, $I = (x_1,\ldots,x_n) := \{\sum_{i=1}^n a_i @@ -2166,7 +2173,7 @@ comme combinaison $A$-linéaire des $y_i$ ne fait intervenir qu'un nombre fini de ceux-ci, donc un nombre fini des $y_i$ suffit à exprimer tous les $x_j$ donc tous les éléments de $I$. -\thingy Un anneau $A$ est dit \textbf{noethérien} lorsque tout idéal +\thingy Un anneau $A$ est dit \defin[noethérien (anneau)]{noethérien} lorsque tout idéal $I$ de $A$ est de type fini. Remarquons qu'un \emph{quotient} d'un anneau noethérien est @@ -2439,7 +2446,7 @@ $p_1 h_1 + \cdots + p_m h_m = g^\ell$, ce qu'on voulait montrer. \thingy\label{radical-ideals} Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit -\textbf{radical} lorsque l'anneau $A/\mathfrak{r}$ est réduit +\defin[radical (idéal)]{radical} lorsque l'anneau $A/\mathfrak{r}$ est réduit (cf. \ref{nilpotent-element-and-reduced-ring}), c'est-à-dire que si $x^n \in \mathfrak{r}$ implique $x \in \mathfrak{r}$ (pour $x\in A$ et $n \in \mathbb{N}$). @@ -2481,13 +2488,13 @@ l'idéal $I$, on a $Z(\surd I) = Z(I)$ (car si $f^n$ s'annule en un point alors $f$ s'annule aussi) ; on peut donc se contenter de considérer les $Z(I)$ avec $I$ idéal radical. -\thingy On appellera \textbf{fermé de Zariski} (défini sur $k$) +\thingy On appellera \index{Zariski (fermé de)}\defin{fermé de Zariski} (défini sur $k$) dans $(k^{\alg})^d$ une partie $E$ de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il s'agit d'un idéal radical. Un fermé de Zariski de la forme $Z(f)$ s'appelle une -\textbf{hypersurface}. +\defin{hypersurface}. Le vide est un fermé de Zariski ($Z(1) = \varnothing$) ; l'ensemble $(k^{\alg})^d$ tout entier est un fermé de Zariski ($Z(0) = @@ -2655,7 +2662,7 @@ sur $\mathbb{C}$). Lorsqu'on a besoin de désigner les éléments de $Z(I) \cap k^d$, c'est-à-dire les solutions dans $k^d$, on dira que ce sont les -\textbf{points rationnels} du fermé de Zariski $Z(I)$ : cette +\defin[rationnel (point)]{points rationnels} du fermé de Zariski $Z(I)$ : cette terminologie vient de la situation $k=\mathbb{Q}$ et a été étendue à n'importe quel corps. (À titre d'exemple, $(\frac{4}{5},\frac{3}{5})$ est un point rationnel du « cercle » $Z(x^2+y^2-1)$ sur $\mathbb{Q}$, @@ -2669,7 +2676,7 @@ fixés par le groupe de Galois absolu, i.e., par tous les automorphismes de $k^{\alg}$ au-dessus de $k$. Par opposition à « point rationnel », un élément de $Z(I)$ peut -s'appeler un \textbf{point géométrique} : de façon générale, le terme +s'appeler un \defin[géométrique (point)]{point géométrique} : de façon générale, le terme « géométrique » a souvent la signification « défini sur la clôture algébrique ». @@ -2691,14 +2698,14 @@ $\mathfrak{I}(Z(I))$ par définition. Il s'ensuit que son image, c'est-à-dire les restrictions à $Z(I)$ des polynômes dans $k[t_1,\ldots,t_d]$, s'identifie à $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{I}(Z(I))$, c'est-à-dire -$k[t_1,\ldots,t_d]/I$. Cet anneau quotient s'appelle l'\textbf{anneau +$k[t_1,\ldots,t_d]/I$. Cet anneau quotient s'appelle l'\defin[régulières (fonctions)]{anneau des fonctions régulières} du fermé de Zariski $Z(I)$ (une fonction régulière est donc simplement la restriction d'un polynôme). \bigbreak \thingy\label{definition-irreducible-closed-set} -On dit qu'un fermé de Zariski $Z(I)$ est \textbf{irréductible} +On dit qu'un fermé de Zariski $Z(I)$ est \defin{irréductible} lorsqu'il ne peut pas s'écrire comme réunion de deux fermés de Zariski différents de lui, i.e., si $Z(I) = Z(I_1) \cup Z(I_2)$ alors $Z(I_1) = Z(I)$ ou bien $Z(I_2) = Z(I)$. @@ -2756,8 +2763,8 @@ qu'un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_n]$ peut être irréductible mais cesser de l'être quand on le considère à coefficients dans un corps plus gros (notamment, tout polynôme de degré $>1$ en $n=1$ variable se factorise dans $k^{\alg}$). Lorsque ceci \emph{ne} se produit -\emph{pas}, on dit que le polynôme est \textbf{géométriquement - irréductible} ou \textbf{absolument irréductible}. Plus +\emph{pas}, on dit que le polynôme est \defin{géométriquement + irréductible} ou \defin{absolument irréductible}. Plus précisément : \begin{itemize} @@ -2821,7 +2828,7 @@ vectoriels isomorphes, mais il y a un \emph{unique} isomorphisme entre eux qui soit compatible avec les applications $\iota_1\colon V\to V'_1$ et $\iota_2\colon V\to V'_2$ construites en même temps. -Cet espace $V'$ s'appelle l'\textbf{extension des scalaires} de $V$ de +Cet espace $V'$ s'appelle l'\defin{extension des scalaires} de $V$ de $k$ à $k'$ et se note $V \otimes_k k'$. Sa dimension sur $k'$ est, par contruction, égale à la dimension de $V$ sur $k$. On notera $x\otimes 1$ l'élément $\iota(x)$ défini ci-dessus (dont les @@ -2860,7 +2867,7 @@ trois espaces vectoriels ou plus. \thingy Signalons au passage, sans plus développer, que l'extension des scalaires qu'on a définie ci-dessus fait partie d'une construction -plus générale appelée \textbf{produit tensoriel}. Le produit +plus générale appelée \index{tensoriel (produit)}\defin{produit tensoriel}. Le produit tensoriel de deux espaces vectoriels $V$ et $W$ sur un corps $k$ est l'espace vectoriel $V\otimes_k W$ dont une base est le produit d'une base de $V$ et d'une base de $W$ (dans le cas qu'on a considéré, une @@ -3015,11 +3022,11 @@ polynôme en $y$.) \subsection{Définition et premiers exemples} \thingy\label{definition-function-field} -Soit $k$ un corps. On appelle \textbf{corps de fonctions de +Soit $k$ un corps. On appelle \defin[fonctions (corps de)]{corps de fonctions de dimension $n$} sur $k$ une extension de corps de $k$ qui soit de type fini (cf. \ref{subfield-generated}) et de degré de transcendance $n$ sur $k$ (cf. \ref{definition-transcendence-degree}). -Notamment, pour $n=1$, on parle de \textbf{corps de fonctions de +Notamment, pour $n=1$, on parle de \defin[courbe (corps de fonctions)]{corps de fonctions de courbe} sur $k$. Par abus de langage, on dira parfois simplement que $K$ est une @@ -3051,7 +3058,7 @@ d'être donnée. \thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $t$ (l'extension \emph{transcendante pure} de degré de transcendance $1$) : on -l'appelle \textbf{droite projective} (ou simplement « droite ») +l'appelle \defin{droite projective} (ou simplement « droite ») sur $k$ et on peut la noter $\mathbb{P}^1_k$ ou simplement $\mathbb{P}^1$ (ainsi, $k(\mathbb{P}^1_k) := k(t)$). @@ -3193,7 +3200,7 @@ vers $B$ qui annule l'image de $P$), et en vérifiant que $t \mapsto \frac{y}{x+1}$ est sa réciproque, on voit que c'est un isomorphisme. Toute cette situation se résume en disant que le cercle $C = -\{x^2+y^2=1\}$ est une courbe \textbf{rationnelle} (sur le corps $k$ +\{x^2+y^2=1\}$ est une courbe \defin[rationnelle (courbe)]{rationnelle} (sur le corps $k$ quelconque de caractéristique $\neq 2$), ou rationnellement paramétrée. Le cadre dans lequel nous considérons les courbes fait qu'on « ne voit pas » la différence entre les courbes rationnelles et @@ -3240,7 +3247,7 @@ une « conique sans point(s) » (c'est-à-dire : sans point données par des fermés de Zariski ayant des points \emph{singuliers}. On dit qu'un point (à coordonnées dans la clôture algébrique !) du fermé de Zariski $\{P=0\}$ (avec $P \in k[x,y]$ non constant) est -\textbf{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent +\defin[singulier (point)]{singulier} lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent simultanément. \begin{itemize} \item La courbe d'équation $y^2 = x^3 + x^2$ sur un corps de @@ -3248,7 +3255,7 @@ simultanément. irréductible car un facteur de degré $1$ serait de la forme $x - c$ en regardant les termes de plus haut degré, et on se convainc facilement que cette courbe ne contient pas de droite verticale - $x=c$.) Cette courbe porte le nom standard de « \textbf{cubique nodale} », + $x=c$.) Cette courbe porte le nom standard de « \defin{cubique nodale} », et le point $(0,0)$ est y appelé un « point double ordinaire ». (Formellement un point est un point double ordinaire de $\{P=0\}$ avec $P$ irréductible lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent mais que @@ -3309,7 +3316,7 @@ simultanément. \end{center} \bigskip \item La courbe d'équation $y^2 = x^3$ (toujours irréductible). Cette - courbe porte le nom de « \textbf{cubique cuspidale} » parce que le + courbe porte le nom de « \defin{cubique cuspidale} » parce que le point $(0,0)$ est un « cusp » ou point de rebroussement. Le même procédé de paramétrage que ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$ (par ailleurs trouvable directement). Cette fois-ci, il y a bien @@ -3419,9 +3426,9 @@ courbes du tout : si $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ est un idéal premier quelconque, alors $X := Z(I)$ est un fermé de Zariski irréductible, et le corps des fractions de l'anneau intègre $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ des fonctions régulières sur $X$ mérite de -s'appeler \textbf{corps des fonctions rationnelles} de $X$, qu'on peut +s'appeler \defin[rationnelle (fonction)]{corps des fonctions rationnelles} de $X$, qu'on peut noter $k(X)$. Le degré de transcendance $\degtrans_k k(X)$ sera -appelé \textbf{dimension} de $X$, mais nous ne considérerons vraiment +appelé \defin{dimension} de $X$, mais nous ne considérerons vraiment que le cas des courbes, c'est-à-dire, de la dimension $1$ : celui-ci a de particulier qu'on pourra alors voir un élément de $k(X)$ comme une vraie fonction de $X$ vers $\mathbb{P}^1$, quitte à lui la @@ -3469,6 +3476,12 @@ non-singulières). % * Différentielles. % * Valuations. Clôture intégrale ? +% +% +% + +\printindex + % % |