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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 4f1630a..9e6a688 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -5671,7 +5671,8 @@ pas un corps : car s'il l'était on aurait $K = A$ et d'après \ref{zariski-lemma} il serait une extension finie de $k$, ce qui contredit l'hypothèse $\degtrans_k K = 1$.) -\thingy Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut +\thingy\label{smooth-points-give-unique-place-reasoning} +Il existe cependant des conditions sous lesquelles on peut dire qu'il y a une unique place de $C$ qui détermine un point de $Z(I)$. @@ -5694,7 +5695,7 @@ monômes en $\bar x$ et $\bar y$ : à savoir, $v(\bar x^i \bar y^j) = ai + bj$. On veut montrer que $v$ est unique. (La difficulté est que la valuation d'une somme n'est pas uniquement déterminée par les valuations des termes, donc on ne peut pas simplement conclure que la -valuation des polômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait +valuation des polynômes en $\bar x,\bar y$ est connue à partir du fait que celle des monômes l'est.) Comme $h$ est irréductible, il n'est pas multiple de $y$ (sauf si @@ -5705,25 +5706,26 @@ Il existe donc des monômes $x^i$ qui apparaissent dans $h$. Soit $e$ l'exposant du plus petit tel monôme (i.e., la valuation usuelle en $0$ de $h(x,0)$). On a $e\geq 2$ puisque $h'_x(0,0) = 0$. Tout monôme dans $h$ est alors divisible soit par $y$ (plus petite puissance -de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$), donc (réduit -modulo $h$) il a une $v$-valuation au moins égale à $b$ ou à $ae$ ; -comme $\bar h$ s'annule dans $K$, -\ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$ (et la -valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À présent, -cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine complètement -la valuation (et qu'on a forcément $a=1$). +de $y$) soit par $x^e$ (plus petite puissance de $x$) ; par +conséquent, les monômes de $h$ qui (réduits modulo $h$) sont +susceptibles d'avoir la plus petite $v$-valuation sont $y$ et $x^e$, +qui ont $v(y) = b$ et $v(x^e) = ae$ ; comme $\bar h$ s'annule +dans $K$, \ref{remark-on-sums-in-valuation-rings} montre que $b = ae$ +(et la valuation de $\bar x^i \bar y^j$ est donc $a(i+e j)$). À +présent, cherchons à montrer que la donnée de $a$ et $e$ détermine +complètement la valuation (et qu'on a forcément $a=1$). Pour cela, écrivons $h = y + c x^e + \rho$ où chaque monôme de $\rho$ est de la forme $x^i y^j$ avec $i + e j > e$, c'est-à-dire, de -$v$-valuation strictement supérieure. Observons que dans un polynôme -$f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut remplacer -n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si $f$ est un -polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus petite -$v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on vient de -dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c' x^{i+e j}$ -plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure. Si le -coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule pas, la -valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il +$v$-valuation strictement supérieure à $ae$. Observons que dans un +polynôme $f$ quelconque en $x,y$, si on travaille modulo $h$, on peut +remplacer n'importe quelle occurrence de $y$ par $-c x^e - \rho$. Si +$f$ est un polynôme en $x,y$ ayant plusieurs monômes $x^i y^j$ de plus +petite $v$-valuation $a(i + e j)$, en effectuant l'opération qu'on +vient de dire sur ces monômes, on peut tous les réécrire comme $c' +x^{i+e j}$ plus des termes de $v$-valuation strictement supérieure. +Si le coefficient du terme en $x^{i+ e j}$ ainsi obtenu ne s'annule +pas, la valuation de $\bar f := f \mod h$ est donc $a(i + e j)$. S'il s'annule, on recommence la procédure avec le nouveau polynôme, dont les monômes sont maintenant tous de $v$-valuation strictement supérieure à $a(i + e j)$. Puisque la $v$-valuation de $\bar f$ est |