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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 66f90c6..d1134b0 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -296,7 +296,9 @@ K$ soit $K/k$ une telle extension ; lorsque l'inclusion a été fixée, on dit aussi que $k$ est un \textbf{sous-corps} de $K$. Un \textbf{corps intermédiaire} à une extension $k \subseteq K$, ou encore \textbf{sous-extension}, est, naturellement, une extension de -corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$. +corps $k \subseteq E$ contenue dans $K$ ; on dit aussi que $k +\subseteq E \subseteq K$ est une \textbf{tour} d'extensions (et de +même pour n'importe quel nombre de corps intermédiaires). \thingy\label{subfield-generated} Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, et $(x_i)_{i\in I}$ est une famille d'éléments de $K$, @@ -484,6 +486,17 @@ dans une extension sans pour autant être algébriquement clos (par exemple $\mathbb{Q}$ dans le corps $\mathbb{Q}(t)$ des fractions rationnelles). +\thingy\label{upgrade-algebraic-with-indeterminates} On peut aussi +remarquer le fait suivant : si $K$ est algébrique au-dessus de $k$, +alors $K(t_1,\ldots,t_n)$ où les $t_i$ sont des indéterminées (ou, de +façon équivalente, des éléments algébriquement indépendants sur $K$ +d'un corps plus gros, +cf. \ref{remark-indeterminates-versus-transcendentals}) est algébrique +sur $k(t_1,\ldots,t_n)$. (En effet, $K(t_1,\ldots,t_n)$ est engendré +sur $k(t_1,\ldots,t_n)$ par tous les éléments de $K$, qui sont +algébriques sur $k$, donc certainement aussi sur $k(t_1,\ldots,t_n)$, +et on applique \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(3).) + \subsection{Bases et degré de transcendance} @@ -493,7 +506,8 @@ $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \textbf{algébriquement indépendante} (il serait plus logique de dire « collectivement transcendante ») sur $k$ lorsque le seul polynôme $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que -$P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ est le polynôme nul, autrement dit, lorsque le +$P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ (relation de « dépendance algébrique » sur $k$ +entre les $x_i$) est le polynôme nul ; autrement dit, lorsque le morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ est injectif. En particulier, @@ -503,7 +517,9 @@ est transcendant sur $k$. On dit d'une famille infinie $(x_i)$ d'éléments de $K$ qu'elle est algébriquement indépendante sur $k$ lorsque toute sous-famille finie -d'entre eux l'est. +d'entre eux l'est (i.e., il n'existe pas de relation de dépendance +algébrique entre les $x_i$, c'est-à-dire entre un nombre fini d'entre +eux). Une famille $(x_i)$ d'éléments de $K$ est appelée \textbf{base de transcendance} de $K$ sur $k$ lorsqu'elle est algébriquement @@ -511,7 +527,7 @@ indépendante sur $k$ et que $K$ est algébrique au-dessus de l'extension $k(x_i)$ de $k$ engendrée par les $x_i$. \end{defn} -\thingy Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont +\thingy\label{remark-indeterminates-versus-transcendentals} Il est trivialement le cas que $t_1,\ldots,t_n$ sont algébriquement indépendants si $t_1,\ldots,t_n$ sont des indéterminées, c'est-à-dire, si $k(t_1,\ldots,t_n)$ est le corps des fractions rationnelles en $n$ indéterminées. Réciproquement, si @@ -591,8 +607,8 @@ cardinal. algébriquement indépendante : en effet, si on avait un polynôme $P(t,(x_i))$ qui l'annulât, en considérant $P$ comme polynôme de la seule variable $t$ (dont il dépend effectivement, sinon il donnerait - une relation de dépendance algébrique entre les $x_i$, chose qui - n'existe pas) on contredirait la transcendance de $t$ sur + une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les $x_i$, chose + qui n'existe pas) on contredirait la transcendance de $t$ sur $k(x_i)_{i\in I}$. Par maximalité de $(x_i)_{i\in I}$, ceci ne peut pas se produire : donc $K$ est bien algébrique sur $k(x_i)_{i\in I}$ et $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance. @@ -668,6 +684,28 @@ dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de transcendance} de $K$ sur $k$ et se note $\degtrans_k(K)$. \end{defn} +\begin{prop} +Si $k \subseteq K \subseteq L$ est une tour d'extensions, alors +$\degtrans_k(L) = \degtrans_k(K) + \degtrans_K(L)$. +\end{prop} +\begin{proof} +Si $(x_i)_{i\in I}$ est une base de transcendance de $K$ sur $k$ et +$(y_j)_{j\in J}$ de $L$ sur $K$, alors leur réunion (évidemment +disjointe !) est une base de transcendance de $L$ sur $k$ : en effet, +d'une part, une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les +$x_i$ et les $y_j$ est \textit{a fortiori} une relation de dépendance +algébrique sur $K$ entre les $y_j$, qui n'existe pas, c'est-à-dire +plus exactement qui ne peut pas faire intervenir les $y_j$, donc est +une relation de dépendance algébrique sur $k$ entre les $x_i$, qui +n'existe pas non plus, c'est-à-dire plus exactement qu'elle est nulle, +et ceci montre que la réunion considérée est algébriquement +indépendante ; d'autre part, $L$ est algébrique sur $K(y_j)$, qui est +lui-même algébrique sur $k(x_i,y_j)$ car $K$ l'est sur $k(x_i)$ +(cf. \ref{upgrade-algebraic-with-indeterminates}), donc $L$ est +algébrique sur $k(x_i,y_j)$ +(cf. \ref{basic-facts-algebraic-extensions}(4)). +\end{proof} + % % % |