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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index a1cc590..b5aa884 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -4347,6 +4347,15 @@ particulier, leur intersection $\tilde k$ est égale à $k$. simplement $k$ comme égal à $\tilde k$, à condition qu'on ne tienne pas à garder le corps de base fixé.) +\thingy La remarque suivante peut être utile : tous les corps +résiduels $\varkappa_v$ sont des extensions de $\tilde k$ (puisque +$\tilde k$ est l'intersection de tous les $\mathcal{O}_v$, on a des +morphismes d'anneaux $\tilde k \to \varkappa_v$). Notamment, $[\tilde + k : k]$ divise tous les $\deg(v) = [\varkappa_v : k]$ +(cf. \ref{degree-of-a-place}), et en particulier, s'il existe une +place \emph{rationnelle} (c'est-à-dire $\deg(v) = 1$), ou simplement +deux places de degrés premiers entre eux, on a $\tilde k = k$. + \subsection{Les places de la droite projective}\label{subsection-places-of-the-projective-line} @@ -5037,20 +5046,21 @@ complètement $\Omega^1_{K/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini ci-dessus. \begin{prop}\label{differentials-of-separable-field-extension} -Soit $k \subseteq K$ une extension de corps telle qu'il existe une -base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour laquelle $K$ est +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps telle que (*) il existe +une base de transcendance $(t_i)_{i\in I}$ pour laquelle $K$ est (algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_i)_{i\in I}$ (cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). Alors $\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de base $(dt_i)_{i\in I}$. -De plus, l'hypothèse qu'on vient de dire est vérifiée exactement quand -les extensions $K^p$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes -dans $K$ (comparer avec \ref{linear-criterion-for-separability}). -Elle est \emph{notamment} vérifiée lorsque les extensions $K$ et -$k^{\alg}$ de $k$ sont linéairement disjointes dans $K^{\alg}$, et en -particulier lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de -Zariski \emph{géométriquement} irréductible +De plus, l'hypothèse (*) qu'on vient de dire est vérifiée exactement +quand les extensions $K^p$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement +disjointes dans $K$ (comparer +avec \ref{linear-criterion-for-separability}). Elle est +\emph{notamment} vérifiée lorsque les extensions $K$ et $k^{\alg}$ +de $k$ sont linéairement disjointes dans $K^{\alg}$, et en particulier +lorsque $K$ est le corps de fonctions d'un fermé de Zariski +\emph{géométriquement} irréductible (cf. \ref{geometric-irreducibility}, et \ref{function-field-of-an-irreducible-set}). Elle est par ailleurs aussi vérifiée lorsque $k$ est \emph{parfait} |