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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index dc29e2f..104c9ae 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -35,6 +35,7 @@ \newcommand{\id}{\operatorname{id}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} +\newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -1173,6 +1174,25 @@ algébriquement clos. \subsection{Éléments séparables, corps parfaits, théorème de l'élément primitif} +\thingy On rappelle que la \textbf{caractéristique} d'un corps $k$ est +le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneux +$\mathbb{Z} \to k$ : plus concrètement, c'est le plus petit entier $p$ +tel que $p = 0$ dans $k$ (au sens où $1 + 1 + \cdots + 1 = 0$ avec $p$ +termes dans la somme), ou bien $0$ si un tel entier n'existe pas : +c'est soit $0$ soit un nombre premier (positif). + +Si $k$ est de caractéristique $p>0$, alors l'application +$\Frob_p\colon k \to k$ définie par $x \mapsto x^p$, ou +\textbf{Frobenius} d'exposant $p$, est un morphisme de corps, i.e., on +a $(x+y)^p = x^p + y^p$ et $(xy)^p = x^p y^p$ ; en particulier, il est +injectif. On notera $k^p$ l'image de ce morphisme +(cf. \ref{definition-perfect-field}), qui est donc un sous-corps +de $k$. + +L'application $x \mapsto x^{p^e}$ est l'itérée $e$-ième du Frobenius +et peut se noter indifféremment $\Frob_{p^e}$ ou $\Frob_p^e$. Son +image se note bien sûr $k^{p^e}$. + \thingy Si $k$ est un corps, et $f \in k[t]$ un polynôme en une indéterminée sur $k$, on dit que $f$ est \textbf{séparable} lorsque $f$ est premier avec sa dérivée $f'$ : ceci revient à dire que les @@ -1183,29 +1203,117 @@ séparable signifie simplement que $f' \neq 0$ (puisque $f'$ ne peut diviser $f$ qu'en étant nulle). Si $k$ est de caractéristique $0$, tout polynôme irréductible est -séparable. Si $k$ est de caractéristique $p>0$, tout polynôme $f \in -k[t]$ s'écrit de façon unique sous la forme $f(t) = f_0(t^{p^s})$ pour -un certain $s \in \mathbb{N}$ et où $f_0' \neq 0$ (en effet, un +séparable. Si $k$ est de caractéristique $p>0$, tout polynôme $f \in +k[t]$ s'écrit de façon unique sous la forme $f(t) = f_0(t^{p^e})$ pour +un certain $e \in \mathbb{N}$ et où $f_0' \neq 0$ (en effet, un polynôme de dérivée nulle n'a que des termes d'exposant multiple de $p$, et on itère) ; avec une telle écriture, si $f$ est séparable -alors $s = 0$, et si $f$ est irréductible alors $f_0$ l'est aussi. - -Lorsque $k \subseteq K$ est une extension de corps, un élément $x \in -K$ algébrique sur $k$ est dit séparable (sur $k$) lorsque son polynôme -minimal l'est. D'après ce qu'on vient de dire, en -caractéristique $0$, tout algébrique est séparable, et en -caractéristique $p$, pour tout algébrique $x$ il existe un $s$ tel que -$x^{p^s}$ soit séparable et de degré égal à l'entier $\deg(x)/p^s$ +alors $e = 0$, et si $f$ est irréductible alors $f_0$ l'est aussi. + +\thingy\label{raising-polynomial-to-the-power-p} Le fait facile +suivant reviendra très souvent : si $g \in k[t]$ où $k$ est de +caractéristique $p$, alors $g(t)^p = g^{\Frob}(t^p)$ où $g^{\Frob}$ +désigne le polynôme obtenu en élevant chaque coefficient de $g$ à la +puissance $p$. En effet, si on appelle $c_n$ le coefficient +devant $t^n$ dans $g$, on a $(c_n t^n)^p = (c_n)^p (t^n)^p$. + +On a bien sûr de même $g(t)^{p^e} = g^{\Frob^e}(t^{p^e})$ où +$g^{\Frob^e}$ désigne le polynôme obtenu en élevant chaque coefficient +de $g$ à la puissance $p^e$. + +\begin{lem}\label{power-in-kp-lemma} +Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$, et soit $h \in k[t]$ un +polynôme tel que $h^i \in k^p[t]$ pour un certain $1\leq i < p$. +Alors $h \in k^p[t]$. +\end{lem} +\begin{proof} +Comme $i$ est premier avec $p$, on peut trouver une relation de Bézout +$ui = 1 + vp$ avec $u,v\in\mathbb{N}$. On a alors $(h^i)^u = h\cdot +(h^p)^v$ avec $h^i \in k^p[t]$ par hypothèse et $h^p \in k^p[t]$ +d'après \ref{raising-polynomial-to-the-power-p}. On a donc $h \in +k^p(t)$ (comme quotient de $(h^i)^u$ par $(h^p)^v$) et $h \in k[t]$, +et il suffit d'appliquer la remarque (triviale mais importante) que si +$k_0 \subseteq k$ est une extension de corps alors $k_0(t) \cap k[t] = +k_0[t]$. +\end{proof} + +\begin{prop}\label{irreducibility-of-frobeniused-polynomials} +Soit $k$ un corps de caractéristique $p>0$, soit $f_0 \in k[t]$ +unitaire irréductible, et soit $f(t) := f_0(t^{p^e})$ où $e>0$. Alors +$f$ est réductible (i.e., n'est pas irréductible) si et seulement si +les coefficients de $f_0$ (ou de façon équivalente, ceux de $f$) sont +des puissances $p$-ièmes, i.e., ssi $f_0 \in k^p[t]$. De plus, dans +ce cas, $f$ est en fait une puissance $p$-ième +(cf. \ref{raising-polynomial-to-the-power-p}). +\end{prop} +\begin{proof} +Si $f_0 \in k^p[t]$, disons $f_0 = (f_1)^{\Frob}$ (c'est-à-dire le +polynôme obtenu en appliquant $\Frob_p$ coefficient par coefficient) +avec $f_1 \in k[t]$, alors $f(t) = f_0(t^{p^e}) = +(f_1(t^{p^{e-1}}))^p$ (cf. \ref{raising-polynomial-to-the-power-p}), +donc $f$ n'est pas irréductible. + +Montrons la réciproque : supposons que les coefficients de $f_0$ ne +soient pas tous des puissances $p$-ièmes, et on veut montrer que $f$ +est irréductible. Par récurrence, on se ramène au cas $e=1$, +c'est-à-dire $f(t) = f_0(t^p)$. Comme $\Frob_p$ est un isomorphisme +entre $k$ et $k^p$, il suffit de montrer que $\Frob_p(f) =: f^{\Frob}$ +est irréductible dans $k^p[t]$. Or on a $f^{\Frob} = f_0(t)^p$ comme +au paragraphe précédent : dans $k[t]$, il s'agit d'une factorisation +irréductible (car on a supposé $f_0$ irréductible) ; donc tout +diviseur unitaire non-constant de $f^{\Frob}$ dans $k[t]$, et en +particulier tout facteur irréductible de $f^{\Frob}$ dans $k^p[t]$, +doit être de la forme $f_0^i$ pour un certain $1\leq i\leq p$. Mais +si $f_0^i \in k^p[t]$ pour $i<p$, le lemme \ref{power-in-kp-lemma} +montre que $f_0 \in k^p[t]$, et on a supposé le contraire : c'est donc +que le seul facteur irréductible de $f^{\Frob}$ dans $k^p[t]$ +est $f_0^p$, donc que $f^{\Frob}$ est irréductible dans $k^p[t]$ donc +que $f$ l'est dans $k[t]$. +\end{proof} + +\thingy Lorsque $k \subseteq K$ est une extension de corps, un élément +$x \in K$ algébrique sur $k$ est dit \textbf{séparable} (sur $k$) +lorsque son polynôme minimal l'est. D'après ce qu'on a dit ci-dessus, +en caractéristique $0$, tout algébrique est séparable, et en +caractéristique $p$, pour tout algébrique $x$ il existe un $e$ tel que +$x^{p^e}$ soit séparable et de degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$ (notamment, si $\deg(x)$ n'est pas multiple de $p$, alors $x$ est séparable). +\begin{prop}\label{separable-inseparable-dichotomy} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps de caractéristique $p>0$, +et $x \in K$ algébrique sur $k$. Exactement l'un des deux cas +suivants se produit : +\begin{itemize} +\item soit $x$ est séparable, le polynôme minimal de $x^p$ sur $k$ a + des coefficients dans $k^p$, et alors $\deg(x^p) = \deg(x)$ et $k(x) + = k(x^p)$, +\item soit $x$ n'est pas séparable, le polynôme minimal de $x^p$ + sur $k$ a des coefficients qui ne sont pas tous dans $k^p$, et alors + on a déjà vu $\deg(x^p) = \deg(x)/p$. +\end{itemize} +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $f_0$ le polynôme minimal de $x^p$ sur $k$, et soit $f(t) = +f_0(t^p)$, de sorte que $f \in k[t]$ annule $x$. D'après la +proposition \ref{irreducibility-of-frobeniused-polynomials}, deux cas +peuvent se produire : soit les coefficients de $f_0$ sont des +puissances $p$-ièmes auquel cas $f$ est une puissance $p$-ième, soit +$f$ est irréductible dans $k[t]$. Dans le premier cas, disons $f = +f_1^p$, alors $\deg(f_1) = \deg(f_0)$ et $f_1(x) = 0$, ce qui montre +$\deg(x) \leq \deg(x^p)$, mais l'inclusion réciproque est évidente +puisque $k(x^p) \subseteq k(x)$, et l'égalité des degrés montre +l'égalité des corps. Dans le second cas, $f$ est le polynôme minimal +de $x$ sur $k$, et on a $\deg(f) = p\cdot \deg(f_0)$ donc $\deg(x) = +p\cdot \deg(x^p)$. +\end{proof} + \begin{defn}\label{definition-perfect-field} Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le -morphisme de Frobenius, $x\mapsto x^p$, est surjectif $k \to k$ (on -rappelle qu'il s'agit d'un morphisme de corps, en particulier -injectif), i.e., tout élément a une racine $p$-ième (automatiquement -unique). +morphisme de Frobenius, $\Frob\colon x\mapsto x^p$, est surjectif $k +\to k$, i.e. tout élément a une racine $p$-ième (automatiquement +unique), i.e. $k^p = k$. \end{defn} \thingy Ainsi, les corps $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sont @@ -1219,13 +1327,10 @@ Un exemple de corps qui \emph{n'est pas} parfait est le corps $\mathbb{F}_p(t)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $t$ sur $\mathbb{F}_p$, vu que l'élément $t$ n'a pas de racine $p$-ième. -\thingy\label{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} Si $k$ est parfait, tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans -un corps le contenant) est séparable : en effet, si $f$ est le -polynôme minimal de $x$, on peut écrire $f(t) = f_0(t^{p^s})$ comme -expliqué plus haut, mais quitte à appeler $f_1$ le polynôme dont les -coefficients sont les racines $p^s$-ièmes de ceux de $f_0$ (c'est là -qu'on utilise la perfection de $k$), on a $f(t) = f_0(t^{p^s}) = -(f_1(t))^{p^s}$, et ceci ne peut être irréductible que pour $s=0$. +\thingy\label{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable} Si +$k$ est parfait, tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans un corps le +contenant) est séparable : ceci découle de la +proposition \ref{separable-inseparable-dichotomy}. Réciproquement, si tout élément $x$ algébrique sur $k$ (dans un corps le contenant, ou, mieux, dans une clôture algébrique $K$ fixée) est |