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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index f2056a7..e70e4d1 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -298,6 +298,30 @@ automatiquement bijective, et en appliquant ce fait à la multiplication par un $a\in K$, on voit que tout élément régulier est inversible. +\thingy\label{gauss-lemma-on-irreducibility} Rappelons par ailleurs le +\textbf{lemme de Gauß} concernant les polynômes irréductibles : si $A$ +est un anneau factoriel et $K$ son corps des fractions, alors l'anneau +$A[t]$ des polynômes en une indéterminée sur $A$ est factoriel ; et +par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible (dans $A[t]$) si et +seulement si $f$ est constant et irréductible dans $A$, \emph{ou bien} +$f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$} et le pgcd (dans $A$) des +coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \textbf{primitif} +lorsque cette dernière condition est vériifée). Le point-clé dans la +démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$ des coefficients d'un +polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \textbf{contenu} de $f$, est +multiplicatif (i.e., $c(fg) = c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en +facteurs irréductibles dans $A[t]$ d'un élément de $A[t]$ s'obtient +alors à partir de celle de $K[t]$ et de celle dans $A$ du contenu. + +Notamment, le corps $k[z_1,\ldots,z_n]$ des fractions rationnelles en +$n$ indéterminées sur un corps $k$ est un anneau factoriel, un +polynôme $f \in k[z_1,\ldots,z_n,t]$ (en $n+1$ indéterminées) +irréductible et faisant effectivement intervenir $t$ est encore +irréductible dans $k(z_1,\ldots,z_n)[t]$, et réciproquement, un +polynôme irréductible dans $k(z_1,\ldots,z_n)[t]$ donne un polynôme +irréductible dans $k[z_1,\ldots,z_n,t]$ quitte à multiplier par le +pgcd des dénominateurs. + \subsection{Algèbre engendrée, extensions de corps} \thingy\label{subalgebra-generated} Si $A$ est une $k$-algèbre (où $k$ @@ -1719,7 +1743,8 @@ sont algébriquement indépendants sur $K$ algébrique sur $k(w_1,\ldots,w_d)$, donc on peut écrire $f(w_1,\ldots,w_d,y) = 0$ avec $f \in k(t_1,\ldots,t_d)[u]$ irréductible, donc, quitte à chasser les dénominateurs, $f \in -k[t_1,\ldots,t_d,u]$ irréductible. +k[t_1,\ldots,t_d,u]$ irréductible +(cf. \ref{gauss-lemma-on-irreducibility}). En particulier, on peut trouver un tel polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_{d+1}]$ irréductible tel que $f(w_1,\ldots,w_{d+1}) = |