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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 8153c2b..508eed9 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1523,6 +1523,35 @@ La fermeture séparable de $k$ dans une clôture algébrique de $k$ séparablement fermé dans une clôture algébrique), on dit que $k$ est \textbf{séparablement clos}. +\thingy Une extension algébrique $k \subseteq K$ telle que $k$ soit +égal à sa propre fermeture séparable dans $K$ (i.e. séparablement +fermé \emph{dans $K$}) est dite \textbf{purement inséparable}. Dans +ce cas, en notant $p>0$ la caractéristique, le polynôme minimal +sur $k$ d'un élément quelconque de $K$ est de la forme $t^{p^e} - c$ +pour un $c \in k$ (car si $f$ est le polynôme minimal de $x \in K$ et +si $f(t) = f_0(t^{p^e})$ avec $f_0$ séparable comme d'habitude, +l'élément $c := x^{p^e}$ de $K$ est annulé par $f_0$ donc séparable +sur $k$ donc dans $k$, donc $f_0$ est de la forme $t-c$) ; et +réciproquement, si cette condition est vérifiée, l'extension est +purement inséparable (car un polynôme de la forme $t^{p^e} - c$ n'est +séparable que pour $e=0$). + +\thingy On pourrait définir la notion de \textbf{degré séparable} +d'une extension algébrique $k \subseteq K$, qui est le degré sur $k$ +de la fermeture séparable $k'$ de $k$ dans $K$, soit +$[K:k]_{\mathrm{sep}} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}} +:= [K:k']$ le \textbf{degré inséparable}). Les degrés séparables (et +les degrés inséparables) se multiplient comme les degrés +(cf. \ref{remark-multiplicativity-of-degree}) : nous ne ferons pas la +démonstration, mais le point-clé est que si $k\subseteq K$ est une +extension purement inséparable (i.e., telle que $k$ soit séparablement +fermé dans $K$) et $K \subseteq K'$ une extension séparable, et si +$k'$ est la fermeture séparable de $k$ dans $K'$, alors $[k':k] = +[K':K]$, c'est-à-dire que les extensions $K$ et $k'$ de $k$ sont +linéairement disjointes (cf. \ref{linear-disjointness-and-degrees}), +ce qui se voit de façon analogue +à \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}. + \subsection{Corps parfaits, théorème de l'élément primitif} @@ -1532,7 +1561,7 @@ Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le morphisme de Frobenius, $\Frob\colon x\mapsto x^p$, est surjectif $k \to k$, i.e. tout élément a une racine $p$-ième (automatiquement -unique), i.e. $k^p = k$. +unique car $\Frob$ est injectif), ou si on préfère, $k^p = k$. \end{defn} \thingy Ainsi, les corps $\mathbb{Q},\mathbb{R},\mathbb{C}$ sont |