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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 58950c3..f2056a7 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -345,7 +345,7 @@ engendrée par une famille quelconque $(x_i)_{i\in I}$ d'éléments de $A$ est la \emph{réunion} des algèbres $k[x_i]_{i\in J}$ engendrées par toutes les sous-familles finies (i.e., $J\subseteq I$ fini) de la famille donnée. (Autrement dit, $y \in A$ appartient à $k[x_i]_{i\in - I}$ si et selement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$ + I}$ si et seulement si il existe $J\subseteq I$ fini tel que $y$ appartienne à $k[x_i]_{i\in J}$.) \danger Attention : une sous-algèbre d'une algèbre de type fini n'est @@ -506,7 +506,7 @@ soi qu'une sous-extension d'une extension finie est encore finie. Il résulte de l'identification de $k(x)$ à $k[t]/(\mu_x)$ que, si $x$ est un élément algébrique sur $k$, alors $[k(x):k]$ est fini et égal -au degré $\deg\mu_x =: \deg(x)$ de $x$. \textit{A contrio}, si $x$ +au degré $\deg\mu_x =: \deg(x)$ de $x$. \textit{A contrario}, si $x$ est transcendant, alors $[k(x):k]$ est infini. En particulier, on a montré que : \emph{l'extension monogène $k\subseteq k(x)$ est finie si et seulement si $x$ est algébrique sur $k$}. @@ -527,7 +527,7 @@ aisée). algébriques est finie (en effet, si $x_1,\ldots,x_n$ sont algébriques sur $k$, alors chaque extension $k(x_1,\ldots,x_{i-1}) \subseteq k(x_1,\ldots,x_i)$ est monogène algébrique, donc finie, donc leur -composée est fini). +composée est finie). (1bis) En fait, sous ces conditions, on peut être un peu plus précis : $k(x_1,\ldots,x_n)$ a une base comme $k$-espace vectoriel formée de @@ -734,10 +734,10 @@ les conditions de la proposition ci-dessus, on a $[K.L : L] = [K : k]$, et d'après \ref{remark-multiplicativity-of-degree} on a aussi $[K.L : k] = [K : k] \cdot [L : k]$. -Réciproquement, si pour pour deux extensions $k \subseteq K$ et $k +Réciproquement, si pour deux extensions $k \subseteq K$ et $k \subseteq L$ contenues dans une même troisième on a l'égalité $[K.L : L] = [K : k]$ \emph{finie} (notons que si à la fois $k \subseteq K$ -et $k \subseteq L$ sont finines, il revient au même de supposer $[K.L +et $k \subseteq L$ sont finies, il revient au même de supposer $[K.L : k] = [K : k] \cdot [L : k]$), on peut considérer une base (finie !) de $K$ comme $k$-espace vectoriel, qui, d'après \ref{compositum-generated-by-products}, engendre $K.L$ comme @@ -747,7 +747,7 @@ $K$ et $L$ sont linéairement disjointes. \begin{prop}\label{linear-disjointness-of-algebraic-and-transcendental} Soit $k \subseteq K$ une extension de corps, et $t_1,\ldots,t_n$ des -indéterminées. Alors les extension $k\subseteq K$ et $k\subseteq +indéterminées. Alors les extensions $k\subseteq K$ et $k\subseteq k(t_1,\ldots,t_n)$ sont linéairement disjointes dans $K(t_1,\ldots,t_n)$, i.e., toute famille $k$-linéairement indépendante de $K$ est encore linéairement indépendante sur @@ -1194,7 +1194,7 @@ isomorphes. Le (1) se montre comme \ref{existence-uniqueness-decomposition-field}(1) avec un argument de passage à l'infini : pour chaque polynôme $f_i \in K[t]$, on construit -un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les coprs +un corps de décomposition de ce polynôme au-dessus de tous les corps de décomposition précédemment obtenus, et tous ces corps sont algébriques d'après \ref{basic-facts-algebraic-extensions} (3) et (4). Le (2) et (2b) se montrent comme @@ -1220,7 +1220,7 @@ soit scindés sur $L$. De toute évidence, un corps est algébriquement clos si et seulement si il est égal à sa propre clôture algébrique. Remarquons également -qu'une cloture algébrique de $K$ est exactement la même chose qu'un +qu'une clôture algébrique de $K$ est exactement la même chose qu'un corps de décomposition de \emph{tous} les polynômes à coefficients dans $K$. @@ -1265,7 +1265,7 @@ de façon « canonique » de les identifier). \subsection{Éléments et extensions algébriques séparables} \thingy On rappelle que la \textbf{caractéristique} d'un corps $k$ est -le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneux +le générateur positif de l'idéal noyau de l'unique morphisme d'anneaux $\mathbb{Z} \to k$ : plus concrètement, c'est le plus petit entier $p$ tel que $p = 0$ dans $k$ (au sens où $1 + 1 + \cdots + 1 = 0$ avec $p$ termes dans la somme), ou bien $0$ si un tel entier n'existe pas : @@ -1374,7 +1374,7 @@ particulier, si $\deg(x)$ n'est pas multiple de $p$, alors $x$ est séparable. On remarquera que si $k \subseteq k' \subseteq K$ est une tour -d'extension, un élément $x\in K$ séparable sur $k$ est en particulier +d'extensions, un élément $x\in K$ séparable sur $k$ est en particulier séparable sur $k'$ (car son polynôme minimal sur $k'$ divise celui sur $k$ et un polynôme divisant un polynôme séparable est séparable). @@ -2399,7 +2399,7 @@ zéros communs dans $k^{\alg}$ de tous les éléments de $\mathscr{F}$. Remarques évidentes : si $\mathscr{F} \subseteq \mathscr{F}'$ alors $Z(\mathscr{F}) \supseteq Z(\mathscr{F}')$ (la fonction $Z$ est « décroissante pour l'inclusion ») ; on a $Z(\mathscr{F}) = -\bigcap_{f\in \mathscr{F}} Z(f)$ (où $Z(f)$ est un racourci de +\bigcap_{f\in \mathscr{F}} Z(f)$ (où $Z(f)$ est un raccourci de notation pour $Z(\{f\})$). Si $I$ est l'idéal engendré par $\mathscr{F}$ alors $Z(I) = @@ -2450,7 +2450,7 @@ sur $E$, toutes leurs combinaisons $k[t_1,\ldots,t_n]$-linéaires s'y annulent aussi), et même un idéal radical (car si $f^n$ s'annule sur $E$ alors $f$ s'annule aussi). -Remarques évidente : si $E \subseteq E'$ alors $\mathfrak{I}(E) +Remarques évidentes : si $E \subseteq E'$ alors $\mathfrak{I}(E) \supseteq \mathfrak{I}(E')$ (la fonction $\mathfrak{I}$ est « décroissante pour l'inclusion ») ; on a $\mathfrak{I}(E) = \bigcap_{x\in E} \mathfrak{M}_x$ (où $\mathfrak{M}_x$ désigne l'idéal @@ -2497,7 +2497,7 @@ algébriquement clos, le \emph{Nullstellensatz fort} besoin du lemme suivant : \begin{lem} -Soit $k$ un corps et $k \subseteq k'$ une exension quelconque. Soit +Soit $k$ un corps et $k \subseteq k'$ une extension quelconque. Soit $I$ un idéal de $k[t_1,\ldots,t_d]$. Soit $I'$ l'idéal engendré par $I$ dans $k'[t_1,\ldots,t_d]$ (c'est simplement le $k'$-espace vectoriel engendré par $I$) : alors $I' \cap k[t_1,\ldots,t_d] = I$. @@ -2508,7 +2508,7 @@ contenant l'élément $v_0 := 1$ : alors $(v_i)$ est aussi une base de $k'[t_1,\ldots,t_d]$ comme $k[t_1,\ldots,t_d]$-module. L'idéal $I'$ contient l'ensemble $I^* := \bigoplus_{i\in\Lambda} v_i I$ des éléments de $k'[t_1,\ldots,t_d]$ dont toutes les coordonnées sur cette -base appartiennent à $I$, qui est bien le $k'$-espace vecotirle +base appartiennent à $I$, qui est bien le $k'$-espace vectoriel engendré par $I$ ; or on vérifie facilement que cet ensemble $I^*$ est un idéal (le produit d'un élément de $I^*$ par un élément de $k'[t_1,\ldots,t_d]$ est dans $I^*$ car si $f \in I$ et $g \in |