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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index a298d95..c7a3deb 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3584,6 +3584,14 @@ $v\colon K^\times \to \mathbb{Z}$ est surjective si et seulement si elle atteint la valeur $1$. \end{proof} +\thingy Les valuations de $K$ et les anneaux de valuations de $K$ sont +donc exactement interchangeables, et on se permettra d'utiliser la +terminologie de l'un pour l'autre. Par exemple, dire qu'une valuation +est non-triviale signifie qu'elle ne prend pas que les valeurs $0$ +et $\infty$. Dire qu'une valuation est au-dessus de $k$ (sous-corps +de $K$) signifie qu'elle est nulle sur $k^\times$ (ou positive +sur $k$, ce qui revient au même). + \begin{prop} Si $R$ est un anneau de valuation, alors $R$ est un \defin[local (anneau)]{anneau local}, c'est-à-dire qu'il a un unique idéal @@ -3612,20 +3620,20 @@ résiduel, défini comme le quotient de l'anneau de valuation $R := On note parfois $\mathcal{O}_v$ pour l'anneau de valuation d'une valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal. -Une valuation au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de fonctions sur $k$ -comme en \ref{definition-function-field} s'appelle une \defin{place} -(ou, s'il faut être plus explicite, une $k$-place) de $K$. (Cette -terminologie est essentiellement utilisée pour le corps des fonctions -d'une courbe, i.e., en degré de transcendance $1$.) +Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de +fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle +une \defin{place} (ou, s'il faut être plus explicite, une $k$-place) +de $K$. (Cette terminologie est essentiellement utilisée pour le +corps des fonctions d'une courbe, i.e., en degré de +transcendance $1$.) \subsection{Places des courbes}\label{subsection-places-of-curves} \begin{lem}\label{key-lemma-on-valuations-of-a-curve} Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$ -(cf. \ref{definition-function-field}) et $R$ un anneau de valuation -de $K$ au-dessus de $k$ (cf. \ref{definition-valuation-ring}), dont on -note $v$ la valuation associée. +(cf. \ref{definition-function-field}) et $v$ une valuation +de $K$ au-dessus de $k$ (cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}). (A) Si $x$ vérifie $0 \neq v(x) < \infty$, alors $x$ est transcendant sur $k$ et le corps $K$ est \emph{fini} sur $k(x)$. @@ -3668,6 +3676,42 @@ celle de n'importe quel autre terme dans cette somme (puisque $v(g_i) interdit que la somme puisse être nulle. Ceci démontre (B). \end{proof} +\begin{prop} +Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$ +(cf. \ref{definition-function-field}). Alors toutes les valuations +(cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}) non-triviales de +$K$ au-dessus de $k$ (=places de $K$) sont \index{discrète + (valuation)}\emph{discrètes} — c'est-à-dire qu'il existe un plus +petit élément strictement positif dans le groupe des valeurs et que +tous les éléments en sont des multiples entiers, si bien que le groupe +des valeurs peut s'identifier à $\mathbb{Z}$ pour son ordre usuel. +\end{prop} +\begin{proof} +Soit $v \colon K \to \Gamma\cup\{\infty\}$ une valuation non-triviale +de $K$ au-dessus de $k$. Le fait que $v$ est non-triviale assure +qu'il existe $x\in K$ tel que $0\neq v(x) < \infty$, et alors le (A) +du lemme \ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve} montre que $K$ est +fini sur $k(x)$. Quitte à remplacer $x$ par $\frac{1}{x}$, on peut +supposer $v(x)>0$. Montrons qu'il existe un élément $z \in K$ avec +$v(z)$ strictement positif minimal : si ce n'est pas le cas de $x$, il +existe $x'$ tel que $0 < v(x') < v(x) < \infty$, et si $x'$ n'est +toujours pas minimal, il existe $x''$ tel que $0 < v(x'') < v(x') < +v(x) < \infty$, et ainsi de suite : ce processus doit terminer en au +plus $[K : k(x)]$ étapes d'après le (B) du lemme, donc il existe un $z +\in K$ avec $v(z)$ strictement positif minimal. Notons $1 := v(z)$. + +Il reste à montrer que tout élément $u$ de $\Gamma$ est un multiple +entier de $1$. C'est trivial si $u=0$ donc quitte à remplacer +éventuellement $u$ par $-u$ on peut supposer $u > 0$. Toujours +d'après le (B) du lemme, il n'est pas possible qu'on ait $u > r\cdot +1$ (en notant $r\cdot 1$ pour $1+1+\cdots+1$ avec $r$ termes) pour +tout $r \in \mathbb{N}$. Il existe donc $r$ minimal tel que $r\cdot 1 +\leq u$, et comme $u - (r\cdot 1) \geq 0$, par minimalité de $1$ +dans $\Gamma$, il est soit nul soit $\geq 1$, mais le dernier cas +implique $(r+1)\cdot 1 \leq u$ ce qui contredit la minimalité de $r$ : +on a donc $u = r\cdot 1$, ce qu'on voulait montrer. +\end{proof} + |