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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 7447025..a6cc066 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1434,6 +1434,22 @@ d'$, l'inégalité dans le sens contraire étant évidente on a $\deg(y^p) = \deg(y)$ et $y$ est séparable. \end{proof} +\thingy L'hypothèse « finie » est essentielle +dans \ref{linear-criterion-for-separable-algebraic-extensions}, et ne +peut pas être remplacée par « algébrique » : un contre-exemple est +fourni par $k = \mathbb{F}_p(t)$ et pour $K$ la réunion des +$\mathbb{F}_p(t^{1/p^i})$ pour $i\in\mathbb{N}$ (chaque +$\mathbb{F}_p(t^{1/p^i})$ est un corps de fractions rationnelles à une +indéterminée $t^{1/p^i}$, plongé dans les suivants en identifiant +$t^{1/p^i}$ à $(t^{1/p^j})^{p^{j-i}}$ si $j\geq i$ : on dit que $K$ +est la « clôture parfaite » de $k$, on l'obtient en prenant toutes les +racines $p^i$-ièmes des éléments de $k$). Alors $k \subseteq K$ est +une extension algébrique ; et $K$ est un corps parfait +(cf. \ref{definition-perfect-field}), c'est-à-dire que $K^p = K$ (on +l'a construit exprès pour), et a fortiori $K^p$ engendre $K$ comme +$k$-espace vectoriel : pourtant, l'extension $k \subseteq K$ n'est +aucunement séparable (elle est même « purement inséparable »). + \begin{prop}\label{tower-of-finite-separable-extensions} Soit $k \subseteq K$ une extension de corps. Si $x_1,\ldots,x_n$ sont des éléments de $K$ tels que $x_i$ est algébrique séparable sur |