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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 1ad6385..a8d8f9f 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -4418,11 +4418,11 @@ identiquement nulle soit n'a pas de zéro non plus). \subsection{L'identité du degré}\label{subsection-degree-identity} -\begin{lem} +\begin{lem}\label{dimension-degree-bound-lemma} Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soient $v_1,\ldots,v_n$ des places de $K$ sur $k$ et soient $r_1,\ldots,r_n \in \mathbb{N}$. Alors la dimension du $k$-espace vectoriel $L := \{f -\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \leq -r_i\}$ est $\leq [\tilde k : k] + +\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \geq -r_i\}$ est $\leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n r_i\, \deg(v_i)$ où on rappelle que $\deg(v_i)$ (degré de la place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$ avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel @@ -4432,7 +4432,7 @@ En particulier, cette dimension est finie. \end{lem} \begin{proof} On procède par récurrence sur $\sum_{i=1}^n r_i$. Si les $r_i$ sont -tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \leq 0\}$ est +tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \geq 0\}$ est précisément $\tilde k$ (cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est vérifiée dans ce cas. @@ -4452,6 +4452,92 @@ est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) + conclut la récurrence. \end{proof} +\begin{thm} +Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soit $x \in K$ non +constant et soient $v_1,\ldots,v_n$ les places où $x$ a un zéro +(c'est-à-dire $v_i(x) \geq 0$). Alors +\[ +\sum_{i=1}^n v_i(x)\,\deg(v_i) = [K : k(x)] +\] +\end{thm} +\begin{proof} +Les deux inégalités se démontrent indépendamment. + +\emph{Montrons d'abord l'inégalité $\geq$.} + +Soit $m := [K:k(x)]$ et soit $z_1,\ldots,z_m$ une base de $K$ +comme $k(x)$-espace vectoriel. Ajoutons aux $v_i$ toutes les places +où l'un des $z_j$ a un pôle, et posons $r_i = \max(v_i(x),0)$ +(c'est-à-dire $r_i = v_i(x)$ pour les $v_i$ de départ et $r_i = 0$ +pour les nouveaux), et aussi $s_i = \max(\max_j\{v_i(z_j)\},0)$. Soit +enfin $L_N$ l'espace vectoriel $\{f \in K : (\forall i)\, v_i(f_i) +\geq -(s_i + N r_i)\}$ : on a alors $x^{-\ell} z_j \in L_N$ pour tout +$j$ et tout $0\leq \ell \leq N$, et les $x^{-\ell} z_j$ sont +linéairement indépendants sur $k$ (puisque $x$ est transcendant +d'après \ref{constant-functions-on-a-curve} et que les $z_j$ sont +linéairement indépendants sur $k(x)$). D'après le +lemme \ref{dimension-degree-bound-lemma}, on en déduit $N \sum_i +r_i\,\deg(v_i) + C \geq (N+1) m$ où $C$ est une constante (à savoir +$\sum_i s_i\,\deg(v_i) + [\tilde k:k]$). Or ceci n'est possible, pour +$N$ grand, que si $\sum_i r_i\,\deg(v_i) \geq m$, ce qui montre +l'inégalité annoncée. + +\emph{Montrons maintenant l'inégalité $\leq$.} + +Pour chaque $i$, soit $d_i := \deg(v_i)$ et $r_i := v_i(x)$, et soient +$z_{i,1},\ldots,z_{i,d_i} \in \mathcal{O}_i$ dont les classes +modulo $\mathfrak{m}_i$ forment une base de $\varkappa_i$ comme +$k$-espace vectoriel (notamment $v_i(z_{i,u}) = 0$). Quitte à +utiliser le théorème \ref{weak-approximation} on peut, sans changer +cette propriété des $z_{i,u}$, assurer de surcroît que $v_j(z_{i,u}) +\geq r_j$ pour tout $j\neq i$. On choisit enfin $t_i$ tel que +$v_i(t_i) = 1$ et $v_j(t_i) = 0$ si $j\neq i$ (de nouveau en +utilisant \ref{weak-approximation}). On va montrer que les $z_{i,u} +t_i^s$ pour $1\leq i\leq n$ et $1\leq u\leq d_i$ et $0\leq s < r_i$ +sont linéairement indépendants sur $k(x)$, ce qui, comme leur nombre +est $\sum_{i=1}^n r_i d_i$, donnera bien l'inégalité $\leq$. + +Supposons donc qu'on ait une relation linéaire non-triviale +\[ +\sum_{j=1}^n \sum_{u=1}^{d_j} \sum_{s=0}^{r_j-1} f_{j,u,s} z_{j,u} t_j^s = 0 +\] +avec $f_{j,u,s} \in k(x)$. On sait que $x$ est transcendant sur $k$, +c'est-à-dire que les $f_{j,u,s}$ sont des fractions rationnelles +en $x$. Quitte à chasser les dénominateurs, on peut supposer +$f_{j,u,s} \in k[x]$ et que $x$ ne les divise pas tous. Soit $e$ le +plus petit $s$ tel que l'un des $f_{j,u,e}$ ne soit pas divisible +par $x$ (i.e., non nul en $0$) et soit $i$ correspondant (i.e., un +indice tel que l'un des $f_{i,u,e}$ ne soit pas divisible par $x$). + +On a $\sum_{j=1}^n \sum_{u=1}^{d_j} \sum_{s=0}^{r_j-1} f_{j,u,s} +z_{j,u} t_j^s t_i^{-e} = 0$. Considérons la valuation $v_i$ du terme +$f_{j,u,s} z_{j,u} t_j^s t_i^{-e}$, qui vaut $v_i(f_{j,u,s}) + +v_i(z_{j,u}) + s\, v_i(t_j) - e$. Remarquons que $v_i(f_{j,u,s}) \geq +0$ puisque $f_{j,u,s} \in k[x]$. On considère plusieurs cas : +\begin{itemize} +\item si $j\neq i$, on a $v_i(z_{j,u}) \geq r_i$ et $v_i(t_j) = 0$ + donc la valuation considérée est au moins $0 + r_i + 0 - e > 0$ ; +\item lorsque $j = i$ (si bien que $v_i(z_{i,u}) = 0$) et $s < e$, on + a $f_{j,u,s} = x g_{j,u,s}$ pour un certain $g\in k[x]$, la + valuation considérée vaut au moins $r_i + 0 + s - e > 0$ car $e < + r_i$ ; +\item lorsque $j = i$ et $s > e$, la valuation considérée vaut au + moins $0 + 0 + s - e > 0$ +\item reste les termes où $j = i$ et $s = e$, où la valuation + considérée vaut au moins $0 + 0 + s - e = 0$. +\end{itemize} +Bref, tous les termes de la somme sont dans $\mathcal{O}_i$ et tous +ceux où $j\neq i$ ou bien $s\neq e$ sont dans $\mathfrak{m}_i$. En +réduisant modulo $\mathfrak{m}_i$, on obtient donc +\[ +\sum_{u=1}^{d_i} f_{i,u,e}(0)\, z_{i,u}(v_i) = 0 \in \varkappa_i +\] +(où $z_{i,u}(v_i)$ est la réduction de $z_{i,u}$ +modulo $\mathfrak{m}_i$) et au moins un des $f_{i,u,e}(0)$ est non +nul. Mais ceci contredit l'indépendance linéaire sur $k$ des +$z_{i,u}(v_i) \in \varkappa_i$. +\end{proof} + % TODO: |