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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 15fe7e7..a4d5484 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -2953,7 +2953,7 @@ simultanément. irréductible car un facteur de degré $1$ serait de la forme $x - c$ en regardant les termes de plus haut degré, et on se convainc facilement que cette courbe ne contient pas de droite verticale - $x=c$.) Cette courbe porte le nom standard de « cubique nodale », + $x=c$.) Cette courbe porte le nom standard de « \textbf{cubique nodale} », et le point $(0,0)$ est y appelé un « point double ordinaire ». (Formellement un point est un point double ordinaire de $\{P=0\}$ avec $P$ irréductible lorsque $P'_x$ et $P'_y$ s'y annulent mais que @@ -2968,6 +2968,23 @@ simultanément. (une fois pour $t=+1$ et une fois pour $t=-1$), essentiellement une fois par direction tangente en ce point (les deux tangentes sont $y=x$ et $y=-x$). +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[scale=3] +\draw[step=.2cm,help lines] (-1.25,-1.25) grid (1.25,1.25); +\draw[->] (-1.15,0) -- (1.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15); +\draw (0.777778,-1.037037) .. controls (0.481481,-0.555556) and (0.222222,-0.222222) .. (0,0) ; % t from -4/3 to -1 +\draw (0,0) .. controls (-0.666667,0.666667) and (-1,0.333333) .. (-1,0); % t from -1 to 0 +\draw (-1,0) .. controls (-1,-0.333333) and (-0.666667,-0.666667) .. (0,0); % t from 0 to 1 +\draw (0,0) .. controls (0.222222,0.222222) and (0.481481,0.555556) .. (0.777778,1.037037); % t from 1 to 4/3 +\coordinate (P) at (-0.888889,-0.296296); +\draw (P) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (0,0); +\fill[black] (0,0) circle (.5pt); +\fill[black] (P) circle (.5pt); +\node[anchor=north west] at (0,0) {$\scriptstyle (0,0)$}; +\node[anchor=east] at (P) {$\scriptscriptstyle (t^2-1,t^3-t)$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} +\bigskip \item La courbe d'équation $y^2 = x^3 - x^2$ sur un corps de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas un carré, par exemple le corps des réels. (De nouveau, on vérifie que ce polynôme @@ -2981,13 +2998,42 @@ simultanément. le paramétrage $(x,y) = (t^2+1, t^3+t)$. On remarquera que cette fois le point $(0,0)$ est atteint par des coordonnées qui ne sont pas dans $k$ (à savoir $\pm\sqrt{-1}$). +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[scale=3] +\draw[step=.2cm,help lines] (-0.25,-1.25) grid (2.25,1.25); +\draw[->] (-0.15,0) -- (2.15,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15); +\draw (1.49,-1.043) .. controls (1.163333,-0.466667) and (1,-0.23333) .. (1,0); % t from -0.7 to 0 +\draw (1,0) .. controls (1,0.23333) and (1.163333,0.466667) .. (1.49,1.043); % t from 0 to 0.7 +\coordinate (P) at (1.111111,0.370370); +\draw (0,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (P); +\fill[black] (0,0) circle (.5pt); +\fill[black] (P) circle (.5pt); +\node[anchor=north west] at (0,0) {$\scriptstyle (0,0)$}; +\node[anchor=west] at (P) {$\scriptscriptstyle (t^2+1,t^3+t)$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} +\bigskip \item La courbe d'équation $y^2 = x^3$ (toujours irréductible). Cette - courbe porte le nom de « cubique cuspidale » parce que le point - $(0,0)$ est un « cusp ». Le même procédé de paramétrage que - ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$ (par ailleurs trouvable - directement). Cette fois-ci, il y a bien bijection, sur n'importe - quel corps $k$, entre les solutions de $y^2 = x^3$ et les éléments - de $k$. + courbe porte le nom de « \textbf{cubique cuspidale} » parce que le + point $(0,0)$ est un « cusp » ou point de rebroussement. Le même + procédé de paramétrage que ci-dessus donne $x = t^2$ et $y = t^3$ + (par ailleurs trouvable directement). Cette fois-ci, il y a bien + bijection, sur n'importe quel corps $k$, entre les solutions de $y^2 + = x^3$ et les éléments de $k$. +\begin{center} +\begin{tikzpicture}[scale=3] +\draw[step=.2cm,help lines] (-0.75,-1.25) grid (1.75,1.25); +\draw[->] (-0.65,0) -- (1.65,0); \draw[->] (0,-1.15) -- (0,1.15); +\draw (1,-1) .. controls (0.333333,0) and (0,0) .. (0,0); % t from -1 to 0 +\draw (0,0) .. controls (0,0) and (0.333333,0) .. (1,1); % t from 0 to 1 +\coordinate (P) at (0.64,0.512); +\draw (0,0) -- node[sloped,auto] {$\scriptstyle\mathrm{pente}=t$} (P); +\fill[black] (0,0) circle (.5pt); +\fill[black] (P) circle (.5pt); +\node[anchor=north east] at (0,0) {$\scriptstyle (0,0)$}; +\node[anchor=north west] at (P) {$\scriptscriptstyle (t^2,t^3)$}; +\end{tikzpicture} +\end{center} \end{itemize} Dans chacun de ces exemples, le corps $k(C)$ des fonctions de la |