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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 7949c6b..ce8237a 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -1314,14 +1314,14 @@ est $f_0^p$, donc que $f^{\Frob}$ est irréductible dans $k^p[t]$ donc que $f$ l'est dans $k[t]$. \end{proof} -\thingy Lorsque $k \subseteq K$ est une extension de corps, un élément -$x \in K$ algébrique sur $k$ est dit \textbf{séparable} (sur $k$) -lorsque son polynôme minimal l'est. D'après ce qu'on a dit ci-dessus, -en caractéristique $0$, tout algébrique est séparable, et en -caractéristique $p$, pour tout algébrique $x$ il existe un $e$ tel que -$x^{p^e}$ soit séparable et de degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$ -(notamment, si $\deg(x)$ n'est pas multiple de $p$, alors $x$ est -séparable). +\thingy\label{definition-separable-element} Lorsque $k \subseteq K$ +est une extension de corps, un élément $x \in K$ algébrique sur $k$ +est dit \textbf{séparable} (sur $k$) lorsque son polynôme minimal +l'est. D'après ce qu'on a dit ci-dessus, en caractéristique $0$, tout +algébrique est séparable, et en caractéristique $p$, pour tout +algébrique $x$ il existe un $e$ tel que $x^{p^e}$ soit séparable et de +degré égal à l'entier $\deg(x)/p^e$ (notamment, si $\deg(x)$ n'est pas +multiple de $p$, alors $x$ est séparable). \begin{prop}\label{separable-inseparable-dichotomy} Soit $k \subseteq K$ une extension de corps de caractéristique $p>0$, @@ -1364,7 +1364,7 @@ extensions $k^p(x^p)$ et $k$ de $k^p$ sont linéairement disjointes Avec ce critère, on démontre immédiatement la proposition suivante : -\begin{prop} +\begin{prop}\label{separably-generated-algebraic-extension-is-separable} Soit $k \subseteq K$ une extension de corps et $x\in K$ algébrique séparable sur $k$. Alors tout $y \in k(x)$ est (algébrique) séparable sur $k$. @@ -1389,6 +1389,46 @@ contraire étant évidente on a $\deg(y^p) = \deg(y)$ et $y$ est séparable. \end{proof} +\thingy\label{definition-separable-algebraic-extension} Une extension +de corps $k \subseteq K$ algébrique est dite \textbf{séparable} (ou +que $K$ est séparable sur / au-dessus de $k$) lorsque tout élément +de $K$ est séparable sur $k$ (cf. \ref{definition-separable-element}). +C'est, bien sûr, toujours le cas en caractéristique $0$. + +La +proposition \ref{separably-generated-algebraic-extension-is-separable} +signifie ainsi que si $x$ est séparable sur $k$ alors $k(x)$ est +séparable (la réciproque est triviale). + +\begin{prop} +Soit $k \subseteq K$ une extension algébrique. Elle est séparable si +et seulement si $K^p$ engendre $K$ comme $k$-espace vectoriel. +\end{prop} +\begin{proof} +Si $K$ est séparable sur $k$, tout élément $x\in K$ est séparable +sur $k$, c'est-à-dire appartient à $k(x^p)$ donc appartient au +$k$-espace vectoriel engendré par les $x^{pi}$, donc notamment +par $K^p$. + +\textcolor{red}{...} +\end{proof} + +\begin{prop} +Soit $k \subseteq K \subseteq L$ une tour d'extensions algébriques. +Si $K$ est séparable sur $k$ et $L$ est séparable sur $K$, alors $L$ +est séparable sur $k$ (la réciproque est claire). +\end{prop} +\begin{proof} +La proposition précédente montre que $K^p$ engendre $K$ comme +$k$-espace vectoriel, et que $L^p$ engendre $L$ comme $K$-espace +vectoriel. Si $x \in L$, on peut écrire $x$ comme combinaison +linéaire à coefficients dans $K$ d'éléments de $L^p$, et les +coefficients peuvent eux-mêmes se réécrire comme combinaisons +linéaires à coefficients dans $k$ d'éléments de $K^p$ : on a donc +écrit $x$ comme combinaison linéaire à coefficients dans $k$ +d'éléments de $L^p$, et ceci montre que $L$ est séparable sur $k$. +\end{proof} + \begin{defn}\label{definition-perfect-field} Un corps $k$ est dit \textbf{parfait} lorsque \emph{soit} $k$ est de caractéristique $0$, \emph{soit} $k$ est de caractéristique $p$ et le @@ -1422,6 +1462,10 @@ puisque $t^p - x = (t-y)^p$ dans $K[t]$, toutes ses racines sont $(t-y)^r$ pour un certain $1\leq r\leq p$, et s'il est séparable c'est que $r=1$ donc $y\in k$. +Bien sûr, on peut aussi dire qu'un corps $k$ est parfait si et +seulement si toute extension algébrique de $k$ est séparable +(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). + \begin{prop}[théorème de l'élément primitif]\label{primitive-element-theorem} Soit $K = k(x_1,\ldots,x_n)$ avec $x_1,\ldots,x_n$ algébriques sur $k$ et $x_2,\ldots,x_n$ séparables sur $k$ (on ne demande pas que $x_1$ |