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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 508eed9..5e4c848 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -36,6 +36,10 @@ \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} +\newcommand{\alg}{\operatorname{alg}} +\newcommand{\sep}{\operatorname{sep}} +\newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} +\newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -474,6 +478,9 @@ extension algébrique de $k$ est $k$ lui-même : d'après les remarques précédentes, cela revient à dire que les seuls polynômes unitaires irréductibles dans $k[t]$ sont les $t-a$. +À titre d'exemple, le corps $\mathbb{C}$ des nombres complexes est +algébriquement clos (« théorème de D'Alembert-Gauß »). + \thingy Si $k\subseteq K$ est une extension de corps, on peut considérer $K$ comme un $k$-espace vectoriel, et sa dimension (finie ou infinie) est notée $[K:k]$ et appelée \textbf{degré} de @@ -1081,7 +1088,7 @@ morphisme est un isomorphisme (i.e., est surjectif) puisque son image est un corps contenant $K$ et $x'$ et qu'on a $L' = K(x')$. \end{proof} -\begin{defn} +\begin{defn}\label{definition-decomposition-field} Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque. On appelle \textbf{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K \subseteq L$ telle que $f$ soit scindé (=complètement décomposé) @@ -1147,10 +1154,9 @@ K(x'_1,\ldots,x'_n)$. On peut obtenir l'existence et l'unicité du corps de décomposition d'une famille finie de polynômes en appliquant le résultat ci-dessus à -leur produit (puisque visiblement, décomposer complètement -$f_1,\ldots,f_n$ revient à décomposer complètement leur produit -$f_1\cdots f_n$). Le même résultat vaut pour un nombre possiblement -infini de polynômes : +leur produit (puisque visiblement, scinder $f_1,\ldots,f_n$ revient à +scinder leur produit $f_1\cdots f_n$). Le même résultat vaut pour un +nombre possiblement infini de polynômes : \begin{prop}\label{existence-uniqueness-decomposition-field-infinite-family} Soit $K$ un corps et $(f_i)$ une famille quelconque d'éléments de $K[t]$. Alors : (1) Il existe un corps de décomposition des $f_i$ @@ -1223,6 +1229,22 @@ déjà dans $L$, et en fait $L = M$, ce qui montre que $L$ est algébriquement clos. \end{proof} +\thingy La fermeture algébrique d'un corps $K$ dans un corps +algébriquement clos $L$ qui le contient fournit une clôture algébrique +de $K$ (vérification facile). À titre d'exemple, puisque $\mathbb{C}$ +est algébriquement clos, la fermeture algébrique de $\mathbb{Q}$ +dans $\mathbb{C}$, c'est-à-dire l'ensemble des nombres complexes +algébriques sur $\mathbb{Q}$, est une clôture algébrique +de $\mathbb{Q}$. + +On notera souvent $K^{\alg}$ une clôture algébrique de $K$, le +choix étant peu important puisqu'elles sont toutes isomorphes +au-dessus de $K$ comme on vient de le voir (néanmoins, comme +l'isomorphisme n'est pas \emph{unique}, le fait d'écrire « une » +clôture algébrique est justifié : deux constructions de clôtures +algébriques donneront certes des objets isomorphes, mais il n'y a pas +de façon « canonique » de les identifier). + \subsection{Éléments et extensions algébriques séparables} @@ -1539,7 +1561,7 @@ séparable que pour $e=0$). \thingy On pourrait définir la notion de \textbf{degré séparable} d'une extension algébrique $k \subseteq K$, qui est le degré sur $k$ de la fermeture séparable $k'$ de $k$ dans $K$, soit -$[K:k]_{\mathrm{sep}} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}} +$[K:k]_{\sep} := [k':k]$ (et dualement $[K:k]_{\mathrm{ins}} := [K:k']$ le \textbf{degré inséparable}). Les degrés séparables (et les degrés inséparables) se multiplient comme les degrés (cf. \ref{remark-multiplicativity-of-degree}) : nous ne ferons pas la @@ -1664,6 +1686,143 @@ l'extension est monogène. Si $k$ est parfait, toute extension algébrique de $k$ est séparable. \end{proof} + + +\subsection{Théorie de Galois : énoncé de résultats} + +\thingy Si $K$ est un corps et $L$ une extension algébrique de $K$ +deux éléments $x,x'$ de $L$ sont dits \textbf{conjugués} sur $K$ +lorsqu'ils ont le même polynôme minimal sur $K$, autrement dit, +lorsque l'un est racine du polynôme minimal de l'autre (il s'agit +d'une relation d'équivalence dont les classes sont parfois appelées +\textbf{classes de conjugaison} au-dessus de $K$). De façon +équivalente, deux éléments $x,x'$ de $L$ sont conjugués lorsque tout +polynôme de $K[t]$ qui s'annule sur l'un s'annule aussi sur l'autre. + +Les conjugués de $x \in L$ sont généralement considérés dans une +clôture algébrique $K^{\alg} = L^{\alg}$ de $L$ (donc de $K$) : +l'intérêt de considérer la clôture algébrique est que le polynôme +minimal de $x$ sur $K$ se scinde dans $K^{\alg}$. Si $x$ est de plus +séparable (cf. \ref{definition-separable-element}), son polynôme +minimal sur $K$ est à racines simples dans $K^{\alg}$, donc le nombre +de conjugués de $x$ sur $K$ est égal à $\deg(x)$. + +À titre d'exemple, les conjugués sur $\mathbb{Q}$ de $\sqrt{2}$ sont +$\sqrt{2}$ et $-\sqrt{2}$ ; les conjugués sur $\mathbb{R}$ de +$42+1729i$ sont lui-même et $42-1729i$ ; les conjugués sur +$\mathbb{Q}$ de $\sqrt[3]{2}$ sont les $\zeta^r \sqrt[3]{2}$ pour +$r\in\{0,1,2\}$ avec $\zeta$ une racine primitive cubique de l'unité +(disons $\exp(2i\pi/3)$ dans les complexes) ; et les conjugués d'un $x +\in \mathbb{F}_q$, pour $q = p^d$, au-dessus de $\mathbb{F}_p$, sont +les $\Frob_p^r(x) = x^{p^r}$ pour $0\leq r \leq d-1$. + +\thingy\label{definition-normal-extension} Une extension de corps $K +\subseteq L$ algébrique est dite \textbf{normale} lorsqu'elle vérifie +les propriétés suivantes dont on peut montrer qu'elles sont +équivalentes : +\begin{itemize} +\item (en notant $L^{\alg}$ une clôture algébrique de $L$,) tout + conjugué sur $K$ (dans $L^{\alg}$) d'un élément de $L$ est encore + dans $L$, +\item tout polynôme irréductible sur $K$ qui a une racine dans $L$ est + scindé sur $L$ (i.e., il y a toutes ses racines), +\item $L$ est corps de décomposition + (cf. \ref{definition-decomposition-field}) d'une famille de + polynômes sur $K$, +\item (en notant $L^{\alg}$ une clôture algébrique de $L$,) l'image de + tout morphisme de corps $L \to L^{\alg}$ qui soit l'identité sur $K$ + est égale à $L$ (et le morphisme définit donc un automorphisme + de $L$ qui soit l'identité sur $K$). +\end{itemize} + +À titre d'exemple, $\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ ou $\mathbb{Q} +\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ou encore $\mathbb{F}_p \subseteq +\mathbb{F}_{p^d}$ sont des extensions normales (ce sont les corps de +décomposition de $t^2 + 1$, de $t^2 - 2$ et de $t^{p^d} - 1$ +respectivement) ; en revanche, $\mathbb{Q} \subseteq +\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ \emph{n'est pas} normale (il s'agit du corps +de rupture de $t^3 - 2$, c'est une extension de degré $3$, donc ne +contenant pas de racine primitive cubique $\zeta$ de l'unité qui est +algébrique de degré $2$). + +(On appelle \textbf{fermeture normale} de $L$ au-dessus de $K$ +dans $L^{\alg}$ le corps de décomposition des polynômes minimaux +sur $K$ de tous les éléments de $L$, i.e., le sous-corps de $L^{\alg}$ +engendré par tous les conjugués de tous les éléments de $L$, ou encore +le composé, cf. \ref{definition-compositum}, de tous les $\sigma(L)$ +pour $\sigma \colon L \to L^{\alg}$ un morphisme de corps qui soit +l'identité sur $K$. À titre d'exemple, la fermeture normale de +$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ au-dessus de $\mathbb{Q}$ est le corps +$\mathbb{Q}(\zeta,\sqrt[3]{2})$ de décomposition de $t^3 - 2$.) + +\thingy Une extension algébrique $K \subseteq L$ qui soit à la fois +normale (cf. \ref{definition-normal-extension}) et séparable +(cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}) est dite +\textbf{galoisienne}. + +À titre d'exemple, une clôture séparable $K \subseteq K^{\sep}$ de $K$ +fournit une extension galoisienne (elle est séparable par définition, +et elle est normale car un conjugué d'un élément séparable est +séparable puisqu'ils ont le même polynôme minimal). On rappelle que +si $K$ est parfait, la clôture séparable coïncide avec la clôture +algébrique. + +\thingy Si $K \subseteq L$ est une extension galoisienne, on appelle +\textbf{groupe de Galois} de l'extension, et on note $\Gal(K\subseteq +L)$ l'ensemble des automorphismes de $L$ au-dessus de $K$, +c'est-à-dire l'ensemble des automorphismes de $K$-algèbres $L \to L$ +(automorphismes de $L$ = isomorphismes de $L$ sur lui-même), +c'est-à-dire encore l'ensemble des automorphismes de $L$ qui soient +l'identité sur $K$. Lorsque $L$ est la clôture séparable de $K$, on +dit que $\Gal(K\subseteq L)$ est le groupe de Galois \textbf{absolu} +de $K$ et on le note $\Gal(K)$ ou parfois $\Gamma_K$. + +Les deux exemples suivant sont essentiels : le groupe de Galois de +$\mathbb{R} \subseteq \mathbb{C}$ est le groupe à deux éléments formé +de l'identité sur $\mathbb{C}$ et de la conjugaison complexe ; le +groupe de Galois de $\mathbb{F}_p \subseteq \mathbb{F}_{p^d}$ est le +groupe cyclique à $d$ éléments formé des $\Frob_p^i$ pour $0\leq i\leq +d-1$. + +\begin{thm} +Soit $K \subseteq L$ une extension galoisienne et $G := \Gal(K +\subseteq L)$ son groupe de Galois. Alors : +\begin{itemize} +\item si $K \subseteq L$ est finie, alors le groupe de Galois $G$ est + fini et son ordre $\#G$ est égal au degré $[L:K]$ de l'extension ; + d'autre part, +\item si $x \in L$ est fixé par tous les éléments du groupe de Galois + $G$, alors $x$ appartient à $K$ (la réciproque fait partie de la + définition même de $G$). +\end{itemize} +De plus, si on appelle $\Phi \colon E \mapsto \Gal(E \subseteq L)$ qui +à un corps intermédiaire $K \subseteq E \subseteq L$ associe le groupe +de Galois de l'extension $E \subseteq L$ (automatiquement +galoisienne), vu comme sous-groupe de $G$, on a +les résultats suivants : +\begin{itemize} +\item $\Phi$ est une injection (décroissante pour l'inclusion), de + l'ensemble des corps intermédiaires $K \subseteq E \subseteq L$ dans + l'ensemble des sous-groupes de $G$, +\item un inverse à gauche en est fourni par $H \mapsto \Fix(H) := \{x + \in L : \forall \sigma\in H\penalty-100\; (\sigma(x) = x)\}$, +\item si $K \subseteq L$ est finie, $\Phi$ est une bijection (en + général, $\Phi$ a pour image l'ensemble des sous-groupes « fermés » + pour une certaine topologie), +\item $\Phi(E)$ est distingué dans $G$ si et seulement si $K \subseteq + E$ est galoisienne, et si c'est le cas $\Gal(K \subseteq E)$ est le + quotient de $G = \Gal(K \subseteq L)$ par $\Phi(E) = \Gal(E + \subseteq L)$, +\item $\Phi(E_1.E_2)$ est l'intersection de $\Phi(E_1)$ et de + $\Phi(E_2)$, et, si $K \subseteq L$ est finie, $\Phi(E_1\cap E_2)$ + est le sous-groupe de $G$ engendré par $\Phi(E_1)$ et $\Phi(E_2)$ + (en général, il s'agit de l'« adhérence » du sous-groupe qu'ils + engendrent). +\end{itemize} +\end{thm} + + + % TODO: % * Espace projectif, Nullstellensatz, lemme de Zariski. % * Différentielles. |