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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index a41407b..29ffd58 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -2669,7 +2669,7 @@ les ensembles qu'on a dit, et on a observé qu'elles sont décroissantes. \end{proof} -\thingy\label{rational-points-of-zariski-closed-sets} On aurait pu +\thingy\label{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets} (1) On aurait pu être tenté d'associer dès le départ à $\mathscr{F}$ l'ensemble $Z(\mathscr{F}) \cap k^d$ des zéros dans $k^d$, plutôt que $(k^{\alg})^d$, des éléments de $\mathscr{F}$ : le problème avec ce @@ -2698,10 +2698,35 @@ on peut dire que les points rationnels de $Z(I)$ sont ceux qui sont fixés par le groupe de Galois absolu, i.e., par tous les automorphismes de $k^{\alg}$ au-dessus de $k$. -Par opposition à « point rationnel », un élément de $Z(I)$ peut -s'appeler un \defin[géométrique (point)]{point géométrique} : de façon générale, le terme -« géométrique » a souvent la signification « défini sur la clôture - algébrique ». +(2) Par opposition à « point rationnel », un élément de $Z(I)$ peut +s'appeler un \defin[géométrique (point)]{point géométrique} : de façon +générale, le terme « géométrique » a souvent la signification « défini + sur la clôture algébrique ». Les points géométriques (=solutions +d'équations polynomiales \emph{dans la clôture algébrique}) sont donc +ceux avec lesquels nous avons travaillé tout du long de cette section. + +(3) On parle aussi de \defin[fermé (point)]{point fermé} pour désigner +les $Z(\mathfrak{m})$ avec $\mathfrak{m}$ un idéal \emph{maximal} de +$k[t_1,\ldots,t_d]$ contenant $I$ (si $I\neq(1)$, il y en a toujours +d'après \ref{existence-maximal-ideals}) : on a vu +en \ref{maximal-ideals-of-polynomial-rings} que si $k$ est +algébriquement clos, les points maximaux coïncident avec les +[singletons des] points géométriques=rationnels ; mais en général, ce +ne sont pas toujours des singletons (par exemple, en une seule +variable $t$, le fermé de Zariski $Z(t^2+1)$ sur $\mathbb{R}$ est un +point fermé qui contient deux points géométriques, $\pm\sqrt{-1}$). +La terminologie « point fermé » vient de ce que ce sont des +\emph{fermés} de Zariski définis sur $k$ qui soient aussi petits que +possible. + +Les points rationnels sont des points fermés particuliers (sur un +corps algébriquement clos, ce sont les seuls, comme on vient de le +rappeler), et chaque point géométrique $x$ appartient à un unique +point fermé (considérer $Z(\mathfrak{I}(x))$ +dans \ref{zeros-and-ideals-bijections}), et on peut vérifier que si +$k$ est parfait, les points fermés sont exactement les \emph{orbites} +sous le groupe de Galois absolu (comparer +avec \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations}). \thingy\label{regular-functions-on-a-zariski-closed-set} Si $I$ est un idéal radical de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si bien que $\mathfrak{I}(Z(I)) = @@ -3316,10 +3341,10 @@ degré $2$ qui ne se factorise pas même sur la clôture algébrique (géométriquement, ceci signifie que la conique ne sera pas réunion de deux droites, même sur la clôture algébrique), \emph{à condition d'avoir un point rationnel} -(cf. \ref{rational-points-of-zariski-closed-sets}) qui puisse jouer le -rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites de pente -variable. L'exemple qui suit montre que cette hypothèse n'est pas -anecdotique. +(cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}(1)) qui +puisse jouer le rôle de $(-1,0)$ dans le paramétrage par des droites +de pente variable. L'exemple qui suit montre que cette hypothèse +n'est pas anecdotique. \thingy Considérons maintenant l'exemple de $P = x^2 + y^2 + 1$ sur un corps $k$ de caractéristique $\neq 2$ dans lequel $-1$ n'est pas somme @@ -3570,13 +3595,6 @@ non-singulières). \subsection{Valuations et places}\label{subsection-places-of-function-fields} -Pour comprendre cette section et surtout -la \ref{subsection-places-of-curves} qui va suivre, on gardera -l'exemple \ref{function-field-of-the-line} en tête (les $v_h$ ou -$v_\xi$ introduits à cet endroit sont des exemples de valuations de -$k(t)$ au-dessus de $k$ comme on va les définir ci-dessous, on verra -même que ce sont les seules non-triviales). - \begin{defn}\label{definition-valuation-ring} Soit $K$ un corps. On appelle \index{valuation (anneau de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ un sous-anneau $R$ de $K$ @@ -3697,6 +3715,56 @@ et $\infty$. Dire qu'une valuation est au-dessus de $k$ (sous-corps de $K$) signifie qu'elle est nulle sur $k^\times$ (ou positive sur $k$, ce qui revient au même). +\thingy Si $A$ est un anneau et $v\colon A \to \Gamma\cup\{\infty\}$ +(où $\Gamma$ est un groupe totalement ordonné) une fonction vérifiant +(o), (i) et (ii) de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}, +alors $A$ est intègre (à cause de (i)), et il est facile de vérifier +que $v$ se prolonge de façon unique en une valuation sur son corps des +fractions $K$ en posant $v(x/y) = v(x)-v(y)$ (ce qui est manifestement +nécessaire et bien défini). Cette observation peut simplifier la +recherche ou l'étude des valuations sur un corps défini comme corps +des fractions. Le plus souvent, dans la situation qu'on vient de +décrire, on considère $v$ positive sur $A$, et alors $A \subseteq R_v$ +en notant $R_v$ l'anneau de valuation. + +\thingy Les exemples les plus importants de valuations sont celles +introduites en \ref{function-field-of-the-line} ci-dessus (les $v_h$ +ou $v_\xi$ introduits à cet endroit sont des exemples de valuations de +$k(t)$ au-dessus de $k$, et +en \ref{subsection-places-of-the-projective-line} on verra même que ce +sont presque les seules non-triviales ; ce sont par ailleurs des +valuations \emph{discrètes}). + +Un autre exemple très semblable (important pour l'arithmétique, +quoique moins pour la géométrie) est donné par les valuations +$p$-adiques sur les rationnels : si $\frac{a}{b}$ est un rationnel et +$p$ un nombre premier, on peut définir $v_p(\frac{a}{b})$ comme +l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $a$ moins +l'exposant de la plus grande puissance de $p$ qui divise $b$. On peut +montrer qu'il s'agit là de toutes les valuations non-triviales +sur $\mathbb{Q}$. (Les $v_h$ sur $k(t)$ évoquées ci-dessus sont +l'analogue exact de ces $v_p$ sur $\mathbb{Q}$ en utilisant la +décomposition des polynômes en facteurs irréductibles au lieu de la +décomposition des entiers en facteurs premiers.) Il s'agit là aussi +de valuations discrètes ; en revanche, elles ne sont pas au-dessus +d'un corps. + +Pour donner au moins quelques exemples de valuations qui ne soient pas +discrètes, sur l'anneau $k[x,y]$ des polynômes en deux indéterminées +on peut définir $v(x^i y^j) = (i,j)$ à valeurs dans le groupe +$\mathbb{Z}^2$ muni de l'ordre lexicographique donnant le poids le +plus fort à la première coordonnée (il s'agit bien d'un groupe +totalement ordonné) : ceci s'étend de façon unique en une valuation +sur ($k[x,y]$, puis) $k(x,y)$, qui n'est pas une valuation discrète. +Si $\theta$ est un nombre réel strictement positif et irrationnel, on +peut aussi définir $v(x^i y^j) = i + j\theta$ à valeurs dans +$\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}\theta \subseteq \mathbb{R}$ muni de son +ordre hérité des réels, ce qui, de nouveau, définit une valuation sur +($k[x,y]$, puis) $k(x,y)$, qui n'est pas une valuation discrète. Ce +type d'exemple ne nous intéressera guère, car on va voir +en \ref{valuations-on-curves-are-discrete} ci-dessous que toutes les +valuations non-triviales sur les courbes sont discrètes. + \begin{prop}\label{valuation-rings-are-local-rings} Si $R$ est un anneau de valuation, alors $R$ est un \defin[local (anneau)]{anneau local}, c'est-à-dire qu'il a un unique idéal @@ -3822,6 +3890,21 @@ relation $1 = b'_1 x + \cdots + b'_{n-1} x^{n-1}$, toujours avec $b'_i bien montré que $x \in K$ implique soit $x\in R$ soit $x^{-1} \in R$. \end{proof} +\thingy En particulier, si $I \subseteq J$ sont deux idéaux premiers +de $k[t_1,\ldots,t_d]$, si bien que $Z(I) \supseteq Z(J)$ sont deux +fermés de Zariski irréductibles +(cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}), alors le corps des +fonctions rationnelles $K = \Frac(k[t_1,\ldots,t_d]/I)$ de $Z(I)$ +(cf. \ref{function-field-of-an-irreducible-set}) a au moins une +valuation $v$ qui soit positive sur $A := k[t_1,\ldots,t_d]/I$ et +strictement positive sur son idéal premier $J/I$ (et exactement sur +ces éléments de $A$). Cette situation nous importera notamment dans +le cas où $Z(I)$ est une courbe (par exemple $I = (P)$ avec $P \in +k[x,y]$ irréductible comme on a vu +en \ref{function-field-of-a-plane-curve}) et $Z(J)$ un point de la +courbe (plus exactement, un point fermé, +cf. \ref{rational-and-closed-points-of-zariski-closed-sets}(3)). + \begin{prop}\label{valuation-rings-and-integral-closure} Soit $K$ un corps et soit $A \subseteq K$ un sous-anneau. Alors l'intersection $B$ de tous les anneaux de valuations de $K$ @@ -3995,7 +4078,7 @@ $y_i$ se réduisent en $b_i$. On a donc $c_1 b_1 + \cdots + c_n b_n = 0$, une contradiction. Ceci démontre (C). \end{proof} -\begin{prop} +\begin{prop}\label{valuations-on-curves-are-discrete} Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$ (cf. \ref{definition-function-field}). Alors toutes les valuations (cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}) non-triviales de |