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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 89a3a03..22c0e30 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -381,7 +381,7 @@ polynômes à coefficients dans $k$ évalués en des $x_i$. Pour dire les choses de façon plus sophistiquée, en supposant les $x_i$ en nombre fini pour simplifier (et indicés par $1,\ldots,n$), il existe un unique morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$ envoyant $t_i$ sur $x_i$, à -savoir le morphisme « d'évaluation » qui à un $P \in +savoir le \index{évaluation (morphisme d')}morphisme « d'évaluation » qui à un $P \in k[t_1,\ldots,t_n]$ associe $P(x_1,\ldots,x_n)$, et $k[x_1,\ldots,x_n]$ est l'\emph{image} de ce morphisme. On peut donc dire qu'une $k$-algèbre de type fini $k[x_1,\ldots,x_n]$ est la même chose qu'un @@ -477,7 +477,7 @@ anglais). On se pose la question de mieux comprendre cette extension. Pour cela, on introduit l'unique morphisme $\varphi\colon k[t] \to K$, où $k[t]$ est l'anneau des polynômes en une indéterminée $t$ sur $k$, qui -envoie $t$ sur $x$, c'est-à-dire, le morphisme « d'évaluation » +envoie $t$ sur $x$, c'est-à-dire, le \index{évaluation (morphisme d')}morphisme « d'évaluation » envoyant $P$ sur $P(x)$ pour chaque $P \in k[t]$. Le noyau de $\varphi$ est un idéal de $k[t]$. Exactement l'un des deux cas suivants se produit : @@ -837,7 +837,7 @@ $x_1,\ldots,x_n$ d'éléments de $K$ est dite \defin[algébriquement indépendan k[t_1,\ldots,t_n]$ à coefficients dans $k$ et tel que $P(x_1,\ldots,x_n) = 0$ (relation de « dépendance algébrique » sur $k$ entre les $x_i$) est le polynôme nul ; autrement dit, lorsque le -morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec +\index{évaluation (morphisme d')}morphisme « d'évaluation » $k[t_1,\ldots,t_n] \to K$ (avec $k[t_1,\ldots,t_n]$ l'anneau des polynômes en $n$ indéterminées) envoyant $P$ sur $P(x_1,\ldots,x_n)$ est injectif. En particulier, chacun des $x_i$ est transcendant sur $k$ ; et un unique élément $x$ @@ -2330,7 +2330,7 @@ maximalité de $\mathfrak{M}$, cette inclusion est en fait une égalité, ce qu'on voulait prouver. \end{proof} -\begin{prop}[« lemme de Zariski »] +\begin{prop}[« lemme de Zariski »]\index{Zariski (lemme de)} Soit $k$ un corps et $k \subseteq K$ une extension de type fini \emph{comme $k$-algèbre} (cf. \ref{subalgebra-generated}) : alors $K$ est en fait une extension \emph{finie} @@ -2395,7 +2395,7 @@ théorème, « die Stelle » = l'endroit, la place, « die Nullstelle » = le zéro d'une fonction ou d'un polynôme ; donc : « théorème du lieu d'annulation ».) -\begin{prop}[« Nullstellensatz faible »]\label{weak-nullstellensatz} +\begin{prop}[« Nullstellensatz faible »]\label{weak-nullstellensatz}\index{Nullstellensatz} Soient $h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ avec $k$ \emph{algébriquement clos}. Si $h_1,\ldots,h_m$ n'engendrent pas l'idéal unité, alors ils ont un zéro commun dans $k$ (il existe @@ -2413,7 +2413,7 @@ $x_1,\ldots,x_n \in k$ tels que $\mathfrak{M} = exactement $h_i(x_1,\ldots,x_n) = 0$. \end{proof} -\begin{thm}[« Nullstellensatz fort »]\label{strong-nullstellensatz} +\begin{thm}[« Nullstellensatz fort »]\label{strong-nullstellensatz}\index{Nullstellensatz} Soient $g,h_1,\ldots,h_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ avec $k$ \emph{algébriquement clos}. Si $g$ s'annule sur tous les zéros communs de $h_1,\ldots,h_m$ (autrement dit si $h_i(x_1,\ldots,x_n) = |