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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 5768c06..a067e81 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -46,6 +46,9 @@ \newcommand{\Gal}{\operatorname{Gal}} \newcommand{\Fix}{\operatorname{Fix}} \newcommand{\Hom}{\operatorname{Hom}} +\newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} +\newcommand{\divis}{\operatorname{div}} +\newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -3852,10 +3855,10 @@ Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle une \defin{place} (ou, s'il faut être plus explicite, une $k$-place) de $K$. (Cette terminologie est essentiellement utilisée pour le -corps des fonctions d'une courbe, i.e., en degré de -transcendance $1$.) On notera parfois $\mathscr{V}_K$ (ou, s'il faut -être plus explicite, $\mathscr{V}_{K/k}$) l'ensemble des $k$-places -de $K$ +corps des fonctions d'une courbe $K = k(C)$, i.e., en degré de +transcendance $1$, auquel cas on peut indifféremment parler de places +de $C$.) On notera parfois $\mathscr{V}_K$ (ou, s'il faut être plus +explicite, $\mathscr{V}_{K/k}$) l'ensemble des $k$-places de $K$. \begin{prop}\label{existence-of-valuations} Soit $K$ un corps, soit $A \subseteq K$ un sous-anneau et soit @@ -4622,6 +4625,66 @@ pôles, il suffit de remplacer $x$ par $x^{-1}$. \end{proof} +\subsection{Diviseurs sur les courbes}\label{subsection-divisors-on-curves} + +\begin{defn} +Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$. Un +\defin{diviseur} sur la courbe $C$ est une combinaison linéaire +formelle à coefficients entiers de $k$-places de $K$ : autrement dit, +le groupe $\Divis(C)$ est défini comme le groupe abélien libre +$\bigoplus_{P\in\mathscr{V}_{K/k}} \mathbb{Z}$ de base l'ensemble +$\mathscr{V}_{K/k}$ des places de $C$. On notera $\sum_P n_P (P)$ une +telle combinaison (où $P$ parcourt les places de $C$ et les $n_P$ sont +des entiers relatifs tous nuls sauf un nombre fini). + +Le \defin[degré (d'un diviseur)]{degré} d'un diviseur $D = \sum_P n_P +\cdot (P)$ est défini comme $\deg(D) := \sum_P n_P \deg(P)$ où +$\deg(P)$ est le degré de la place $P$ (cf. \ref{degree-of-a-place}). +On notera $\Divis^0(C)$ le sous-groupe des diviseurs de degré zéro +(i.e., le noyau de $\deg$). +\end{defn} + +\begin{defn} +Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, et si $f \in +K$ est non constante, on appelle respectivement \textbf{diviseur des + zéros}, \textbf{diviseur des pôles} et \defin[principal + (diviseur)]{diviseur principal} associés à la fonction $f$ les +diviseurs +\begin{align*} +f^*((0)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) > 0} v_P(f)\cdot (P)\\ +f^*((\infty)) &:= \sum_{P\;:\;v_P(f) < 0} -v_P(f)\cdot (P)\\ +\divis(f) := f^*((0)-(\infty)) &= \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)\\ +\end{align*} +où $v_P$ est la valuation correspondant à la place $P$. +\end{defn} + +\thingy Le théorème \ref{degree-identity} affirme que le degré du +diviseur des zéros $f^*((0))$ ou du diviseur des pôles $f^*((\infty))$ +de $f$ est égal au degré de l'extension $k(f) \subseteq K$, qu'on peut +appeler simplement « degré » de $f$. Le degré du diviseur principal +$\divis(f)$, qui est égal au degré du diviseur des zéros moins le +diviseur des pôles, est donc nul : $\divis(f) \in \Divis(C)^0$. + +Il faut souligner que $\divis(fg) = \divis(f) + \divis(g)$ d'après la +propriété \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i) des +valuations. + +\begin{defn} +Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle +\defin[principal (diviseur)]{diviseur} un diviseur sur $C$ (de degré +zéro) de la forme $\divis(f) := \sum_{P\in C} v_P(f)\cdot (P)$ pour +une certaine fonction $f \in k(C)$ non constante. Les diviseurs +principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs : on dit que +deux divieurs $D$ et $D'$ sont \defin[linéairement équivalents + (diviseurs)]{linéairement équivalents}, et on note $D \sim D'$, +lorsque leur différence $D'-D$ est un diviseur principal. Le groupe +des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs +principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle \defin[Picard + (groupe de)]{groupe de Picard} (resp. groupe de Picard de degré +zéro) de la courbe $C$, noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). +\end{defn} + + % TODO: % * Différentielles. |