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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 552c8cc..79f6c87 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -49,6 +49,7 @@ \newcommand{\Divis}{\operatorname{Div}} \newcommand{\divis}{\operatorname{div}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} +\newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -4339,10 +4340,10 @@ rationnelle $f/g$ on peut définir $v_h(f/g) = v_h(f) - v_h(g)$ sachant qu'au plus un de ces termes sera non-nul lorsque $f/g$ est en forme irréductible, cf. \ref{valuations-on-integral-domains}). Si on préfère, au moins si $k$ est parfait, on peut aussi le noter -$v_\xi(f)$ où $\xi$ est une racine quelconque de $h$ dans une clôture -algébrique $k^{\alg}$ fixée (puisque le polynôme $h$ se factorise dans -$k^{\alg}$ comme le produit des $t-\xi_i$ où $\xi_i$ parcourt les -conjugués de $\xi$, +$v_\xi(f)$ (ou $\ord_\xi(f)$), où $\xi$ est une racine quelconque de +$h$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée (puisque le polynôme +$h$ se factorise dans $k^{\alg}$ comme le produit des $t-\xi_i$ où +$\xi_i$ parcourt les conjugués de $\xi$, cf. \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations} et aussi \ref{function-field-of-the-line}). @@ -4379,7 +4380,7 @@ le corps $k(\xi) = k[t]/(h)$. \thingy Il existe une autre valuation non-triviale de $k(t)$ au-dessus de $k$, à savoir celle qui à une fraction rationnelle $f/g$ associe la différence $\deg(g) - \deg(f)$ du degré du dénominateur et du degré du -numérateur. On la notera $v_\infty$. +numérateur. On la notera $v_\infty$ (ou $\ord_\infty$). L'anneau de valuation $\mathcal{O}_\infty$ associé est l'anneau des fractions rationnelles dont le degré du dénominateur est supérieur ou @@ -4433,12 +4434,12 @@ valeur $1$ doit être atteinte. $\mathbb{P}^1_k$ (:= la droite projective sur $k$, c'est-à-dire la courbe dont le corps des fonctions est $k(t)$) peuvent donc s'identifier aux éléments de $k$ (le point $x\in k$ étant identifié à -la valuation qui à $f \in k(t)$ associe l'ordre $v_x(f)$ du zéro, ou -l'opposé de l'ordre du pôle, de $f$ en $x$) plus un élément -supplémentaire $\infty$ (correspondant à la valuation $v_\infty$ à -l'infini). C'est cette vision (« la droite des points de $k$ plus un - point à l'infini ») qu'on a à l'esprit en traitant $\mathbb{P}^1_k$ -de « droite projective ». +la valuation qui à $f \in k(t)$ associe l'ordre $v_x(f) =: \ord_x(f)$ +du zéro, ou l'opposé de l'ordre du pôle, de $f$ en $x$) plus un +élément supplémentaire $\infty$ (correspondant à la valuation +$v_\infty =: \ord_\infty$ à l'infini). C'est cette vision (« la + droite des points de $k$ plus un point à l'infini ») qu'on a à +l'esprit en traitant $\mathbb{P}^1_k$ de « droite projective ». Lorsque $k$ n'est plus supposé algébriquement clos, les places de $\mathbb{P}^1_k$ sont un peu plus compliquées ; il faut imaginer que @@ -4884,8 +4885,8 @@ unitaires irréductibles de $k[t]$, plus une place « à à la valuation $v_h$, pour $h$ unitaire irréductible, qui vérifie $\deg P_h = \deg h$ ; pour $h$ de degré un, c'est-à-dire de la forme $t - x$, on peut noter simplement $x$ la place en question (i.e., -$v_x(f)$ est l'ordre du zéro, ou l'opposé de l'ordre du pôle, d'une -fonction rationnelle $f$ en $x$). +$v_x(f) = \ord_x(f)$ est l'ordre du zéro, ou l'opposé de l'ordre du +pôle, d'une fonction rationnelle $f$ en $x$). Si $D = n_\infty (\infty) + \sum_h n_h\cdot(P_h) \in \Divis(\mathbb{P}^1_k)$ est un diviseur sur $\mathbb{P}^1_k$ (où @@ -4915,13 +4916,16 @@ de $C$). On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de Riemann-Roch} associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel \[ \begin{aligned} -\mathscr{L}(D) &:= \{f \in K : (\forall P)\, v_P(f) \geq -n_P\}\\ +\mathscr{L}(D) &:= \{f \in K : (\forall P)\, \ord_P(f) \geq -n_P\}\\ &= \{f \in K : \divis(f) + D \geq 0\}\\ \end{aligned} \] des fonctions rationnelles sur $C$ qui ont en chaque place $P$ un pôle d'ordre au plus $n_P$ (ou un zéro d'ordre au moins $n_P$ dans le cas où $n_P$ est strictement négatif ; et pas de pôle si $n_P$ est nul). +Ici, $\ord_P(f)$ désigne la valuation de $f$ donnée par la place $P$ +(notée $v_P(f)$ plus haut), c'est-à-dire le coefficient de $(P)$ +dans $\divis(f)$. On note $\ell(D)$ la dimension de $\mathscr{L}(D)$ comme $k$-espace vectoriel (on va voir qu'elle est toujours finie). |