diff options
Diffstat (limited to 'notes-accq205.tex')
| -rw-r--r-- | notes-accq205.tex | 12 |
1 files changed, 9 insertions, 3 deletions
diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index c30b845..4d57c4b 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -4602,6 +4602,11 @@ place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$ avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel de $v_i$, et où $\tilde k$ est le corps des constantes (fermeture algébrique de $k$ dans $K$, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}). + +Plus exactement, la dimension de $L$ est $[\tilde k:k]$ lorsque tous +les $r_i$ sont nuls, et augmente d'au plus $\deg(v_i)$ lorsque $r_i$ +est augmenté de $1$. + En particulier, cette dimension est \emph{finie}. \end{lem} \begin{proof} @@ -4611,8 +4616,8 @@ précisément $\tilde k$ (cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est vérifiée dans ce cas. -Supposons la propriété vérifiée pour certains $r_j$ et montrons -qu'elle l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$, +Supposons l'inégalité vérifiée pour certains $r_j$ et montrons qu'elle +l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$, par $r'_i := r_i+1$, avec $r'_j = r_j$ si $j\neq i$. Soit $L'$ l'espace correspondant (défini de la même façon que $L$ mais avec les $r'_j$). Soit $z$ tel que $v_j(z) = r_j+1$. Alors pour $f \in @@ -4623,7 +4628,8 @@ application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant $f$ sur la classe de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$, dont le noyau est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) + \dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui -conclut la récurrence. +conclut la récurrence ; et on a bien montré l'affirmation commençant +par « plus exactement ». \end{proof} \begin{thm}[« identité du degré »]\label{degree-identity} |