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(Voir aussi le théorème \ref{degree-identity} plus bas pour une généralisation de (B) et (C).) \begin{proof} -Pour ce qui est de (A), commençons par supposer $v(x) < 0$ et +Pour ce qui est de (A), on peut le déduire +de \ref{valuation-rings-and-integral-closure}, mais on va le faire +directement. Commençons par supposer $v(x) < 0$ et cherchons à montrer la transcendance de $x$ : on a $v(x^i) = i\,v(x)$, et si $a \in k^\times$, comme $v(a) = 0$ (puisque la valuation est au-dessus de $k$), on a $v(a x^i) = i\,v(x)$ ; par conséquent, si on a @@ -4248,7 +4251,18 @@ $\mathscr{V}_K \to k\cup\{\infty\}$). On dira symétriquement que $f$ a un \defin[zéro (d'une fonction)]{zéro} en la place $v$ lorsque $v(f) > 0$, c'est-à-dire que $f(v) = 0$ (le $0$ de $\varkappa_v$ étant défini comme l'idéal -$\mathfrak{m} := \{x\in \mathcal{O}_v : v(x)>0\}$). +$\mathfrak{m}_v := \{x\in \mathcal{O}_v : v(x)>0\}$). + +Pour récapituler, on pour $f \in K$ et $v \in \mathscr{V}_K$, on a +trois possibilités exclusives : +\begin{itemize} +\item $v(f) > 0$, ce qui équivaut à $f(v) = 0$, ce qui équivaut à $f + \in \mathfrak{m}_v$ : on dit que $f$ a un zéro en $v$ ; +\item $v(f) < 0$, ce qui équivaut à $f(v) = \infty$, ce qui équivaut à + $f \not\in \mathcal{O}_v$ : on dit que $f$ a un pôle en $v$ ; +\item $v(f) = 0$, ce qui équivaut à $f(v) \in \varkappa_v^\times$, ce + qui équivaut à $f \in \mathcal{O}_v^\times$. +\end{itemize} La valuation $v(f)$ peut également être appelée \defin{multiplicité} du zéro de $f$ en $v$ (même si cette terminologie est un peu abusive @@ -4320,27 +4334,33 @@ décomposition en produit d'irréductibles, et pour une fraction rationnelle $f/g$ on peut définir $v_h(f/g) = v_h(f) - v_h(g)$ sachant qu'au plus un de ces termes sera non-nul lorsque $f/g$ est en forme irréductible, cf. \ref{valuations-on-integral-domains}). Si on -préfère, on peut aussi le noter $v_\xi(f)$ où $\xi$ est une racine -quelconque de $h$ dans une clôture algébrique $k^{\alg}$ fixée. +préfère, au moins si $k$ est parfait, on peut aussi le noter +$v_\xi(f)$ où $\xi$ est une racine quelconque de $h$ dans une clôture +algébrique $k^{\alg}$ fixée (puisque le polynôme $h$ se factorise dans +$k^{\alg}$ comme le produit des $t-\xi_i$ où $\xi_i$ parcourt les +conjugués de $\xi$, +cf. \ref{galois-group-of-polynomial-and-permutations} et +aussi \ref{function-field-of-the-line}). Il est facile de vérifier que ces $v_h$ sont bien des valuations au sens de \ref{valuation-ring-versus-valuation-function} (il suffit par exemple de vérifier les propriétés définissant une valuation sur des polynômes, ce qui est immédiat, et de les déduire pour les fractions -rationnelles). On peut aussi vérifier directement que $R_h := \{f \in -k(t) : v_h(f) \geq 0\}$ (c'est-à-dire l'ensemble des fractions -rationnelles dont $h$ ne divise pas le dénominateur réduit) est bien -un anneau de valuation. +rationnelles). On peut aussi vérifier directement que $\mathcal{O}_h +:= \{f \in k(t) : v_h(f) \geq 0\}$ (c'est-à-dire l'ensemble des +fractions rationnelles dont $h$ ne divise pas le dénominateur réduit) +est bien un anneau de valuation. \thingy Le corps résiduel $\varkappa_h$ de la place $v_h$ n'est autre que le corps de rupture $k[t]/(h)$ de $h$ sur $k$ (si $\deg h = 1$, c'est simplement $k$). En effet, on a \textit{a priori} $\varkappa_h -= R_h/(h)$ (cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(a)) ; -mais en fait tout élément de $R_h$ peut s'écrire sous la forme $f/g$ -avec $g$ non multiple de $h$, et quitte à utiliser une relation de -Bézout $u g + w h = 1$ (avec $u,w \in k[t]$), on voit que $f/g$ est la -somme de $u f \in k[t]$ et de $w\frac{f}{g} h \in h R_h$, si bien que -finalement $R_h/(h) = k[t]/(h)$. += \mathcal{O}_h/(h)$ +(cf. \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}(a)) ; mais en fait +tout élément de $\mathcal{O}_h$ peut s'écrire sous la forme $f/g$ avec +$g$ non multiple de $h$, et quitte à utiliser une relation de Bézout +$u g + w h = 1$ (avec $u,w \in k[t]$), on voit que $f/g$ est la somme +de $u f \in k[t]$ et de $w\frac{f}{g} h \in h \mathcal{O}_h$, si bien +que finalement $\mathcal{O}_h/(h) = k[t]/(h)$. Ce qu'on a appelé degré de la place $v_h$ est donc simplement le degré de $h$ ; et les places rationnelles parmi les $v_h$ sont celles avec @@ -4357,14 +4377,15 @@ de $k$, à savoir celle qui à une fraction rationnelle $f/g$ associe la différence $\deg(g) - \deg(f)$ du degré du dénominateur et du degré du numérateur. On la notera $v_\infty$. -L'anneau de valuation $R_\infty$ associé est l'anneau des fractions -rationnelles dont le degré du dénominateur est supérieur ou égal à -celui du numérateur, et le corps résiduel est simplement $k$, le -morphisme d'évaluation dans $R_\infty/(\frac{1}{t}) = k$ étant donné -par la valeur de la fraction rationnelle en $\infty$ (telle que -définie en \ref{function-field-of-the-line}). On peut s'en convaincre -en remplaçant $t$ par $\frac{1}{t}$, ce qui définit un automorphisme -de $k(t)$ transformant la place $v_0$ en $v_\infty$ et vice versa. +L'anneau de valuation $\mathcal{O}_\infty$ associé est l'anneau des +fractions rationnelles dont le degré du dénominateur est supérieur ou +égal à celui du numérateur, et le corps résiduel est simplement $k$, +le morphisme d'évaluation dans $\mathcal{O}_\infty/(\frac{1}{t}) = k$ +étant donné par la valeur de la fraction rationnelle en $\infty$ +(telle que définie en \ref{function-field-of-the-line}). On peut s'en +convaincre en remplaçant $t$ par $\frac{1}{t}$, ce qui définit un +automorphisme de $k(t)$ transformant la place $v_0$ en $v_\infty$ et +vice versa. On vient de construire un certain nombre de places de $k(t)$ : en fait, ce sont les seules : @@ -4382,11 +4403,11 @@ On a vu que les places qu'on a dites en sont bien, et elles sont visiblement distinctes. Soit maintenant $v$ une place de $k(t)$. Considérons d'abord le cas $v(t) \geq 0$. Alors $v(f) \geq 0$ pour -tout polynôme $f \in k[t]$ (puisque $R_f$ est un anneau). Il existe -nécessairement un $f \in k[t]$ tel que $v(f) > 0$ sans quoi la -valuation serait triviale. Mais si $v(f) > 0$, l'un de ses facteurs -(unitaires) irréductibles, disons $h$, vérifie aussi $v(h) > 0$. On a -nécessairement $v(q) = 0$ pour tout autre polynôme unitaire +tout polynôme $f \in k[t]$ (puisque $\mathcal{O}_v$ est un anneau). +Il existe nécessairement un $f \in k[t]$ tel que $v(f) > 0$ sans quoi +la valuation serait triviale. Mais si $v(f) > 0$, l'un de ses +facteurs (unitaires) irréductibles, disons $h$, vérifie aussi $v(h) > +0$. On a nécessairement $v(q) = 0$ pour tout autre polynôme unitaire irréductible $q$ car si $v(q)$ était strictement positif, une relation de Bézout $u q + w h = 1$ avec $u,w \in k[t]$ donnerait $v(1) > 0$ ce qui est absurde. Bref, $h$ est le seul polynôme unitaire irréductible @@ -4519,19 +4540,27 @@ identiquement nulle soit n'a pas de zéro non plus). \begin{lem}\label{dimension-degree-bound-lemma} Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soient -$v_1,\ldots,v_n$ des places de $K$ sur $k$ et soient $r_1,\ldots,r_n -\in \mathbb{N}$. Alors la dimension du $k$-espace vectoriel $L := \{f -\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \geq -r_i\}$ est $\leq [\tilde k : k] + -\sum_{i=1}^n r_i\, \deg(v_i)$ où on rappelle que $\deg(v_i)$ (degré de -la place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$ +$v_1,\ldots,v_n$ des places de $K$ sur $k$ deux à deux distinctes, et +soient $r_1,\ldots,r_n \in \mathbb{N}$. Si $v$ est une place de $K$, +posons $r_v = r_i$ si $v = v_i$ et $r_v = 0$ si $v$ n'est pas l'une +des $v_i$. On considère le $k$-espace vectoriel +\[ +L := \{f \in K : (\forall v)\, v(f) \geq -r_v\} +\] +des fonctions $f \in K$ qui ont en $v_i$ un pôle de multiplicité au +plus $r_i$ et aucun pôle ailleurs qu'en $v_1,\ldots,v_n$. + +Alors la dimension de $L$ est $\leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n +r_i\, \deg(v_i)$ où on rappelle que $\deg(v_i)$ (degré de la +place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$ avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel de $v_i$, et où $\tilde k$ est le corps des constantes (fermeture algébrique de $k$ dans $K$, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}). -En particulier, cette dimension est finie. +En particulier, cette dimension est \emph{finie}. \end{lem} \begin{proof} On procède par récurrence sur $\sum_{i=1}^n r_i$. Si les $r_i$ sont -tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \geq 0\}$ est +tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall v)\, v(f) \geq 0\}$ est précisément $\tilde k$ (cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est vérifiée dans ce cas. @@ -4551,7 +4580,7 @@ est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) + conclut la récurrence. \end{proof} -\begin{thm}\label{degree-identity} +\begin{thm}[« identité du degré »]\label{degree-identity} Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soit $x \in K$ non constant (cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}) : alors l'ensemble des places où $x$ a un zéro (c'est-à-dire $v(x) > 0$) est fini, et si @@ -4569,26 +4598,7 @@ soient \emph{toutes} les places où $x$ a un zéro, ce qui prouvera, en particulier, qu'il y en a bien un nombre fini (majoré par $[K : k(x)]$). -\emph{Montrons d'abord l'inégalité $\geq$.} - -Soit $m := [K:k(x)]$ et soit $z_1,\ldots,z_m$ une base de $K$ -comme $k(x)$-espace vectoriel. Ajoutons aux $v_i$ toutes les places -où l'un des $z_j$ a un pôle, et posons $r_i = \max(v_i(x),0)$ -(c'est-à-dire $r_i = v_i(x)$ pour les $v_i$ de départ et $r_i = 0$ -pour les nouveaux), et aussi $s_i = \max(\max_j\{v_i(z_j)\},0)$. Soit -enfin $L_N$ l'espace vectoriel $\{f \in K : (\forall i)\, v_i(f_i) -\geq -(s_i + N r_i)\}$ : on a alors $x^{-\ell} z_j \in L_N$ pour tout -$j$ et tout $0\leq \ell \leq N$, et les $x^{-\ell} z_j$ sont -linéairement indépendants sur $k$ (puisque $x$ est transcendant -d'après \ref{constant-functions-on-a-curve} et que les $z_j$ sont -linéairement indépendants sur $k(x)$). D'après le -lemme \ref{dimension-degree-bound-lemma}, on en déduit $N \sum_i -r_i\,\deg(v_i) + C \geq (N+1) m$ où $C$ est une constante (à savoir -$\sum_i s_i\,\deg(v_i) + [\tilde k:k]$). Or ceci n'est possible, pour -$N$ grand, que si $\sum_i r_i\,\deg(v_i) \geq m$, ce qui montre -l'inégalité annoncée. - -\emph{Montrons maintenant l'inégalité $\leq$.} +\emph{Montrons d'abord l'inégalité $\leq$.} Pour chaque $i$, soit $d_i := \deg(v_i)$ et $r_i := v_i(x)$, et soient $z_{i,1},\ldots,z_{i,d_i} \in \mathcal{O}_i$ dont les classes @@ -4642,6 +4652,25 @@ réduisant modulo $\mathfrak{m}_i$, on obtient donc modulo $\mathfrak{m}_i$) et au moins un des $f_{i,u,e}(0)$ est non nul. Mais ceci contredit l'indépendance linéaire sur $k$ des $z_{i,u}(v_i) \in \varkappa_i$. + +\emph{Montrons maintenant l'inégalité $\geq$.} + +Soit $m := [K:k(x)]$ et soit $z_1,\ldots,z_m$ une base de $K$ +comme $k(x)$-espace vectoriel. Ajoutons aux $v_i$ toutes les places +où l'un des $z_j$ a un pôle, et posons $r_i = \max(v_i(x),0)$ +(c'est-à-dire $r_i = v_i(x)$ pour les $v_i$ de départ et $r_i = 0$ +pour les nouveaux), et aussi $s_i = \max(\max_j\{v_i(z_j)\},0)$. Soit +enfin $L_N$ l'espace vectoriel $\{f \in K : (\forall i)\, v_i(f_i) +\geq -(s_i + N r_i)\}$ : on a alors $x^{-\ell} z_j \in L_N$ pour tout +$j$ et tout $0\leq \ell \leq N$, et les $x^{-\ell} z_j$ sont +linéairement indépendants sur $k$ (puisque $x$ est transcendant +d'après \ref{constant-functions-on-a-curve} et que les $z_j$ sont +linéairement indépendants sur $k(x)$). D'après le +lemme \ref{dimension-degree-bound-lemma}, on en déduit $N \sum_i +r_i\,\deg(v_i) + C \geq (N+1) m$ où $C$ est une constante (à savoir +$\sum_i s_i\,\deg(v_i) + [\tilde k:k]$). Or ceci n'est possible, pour +$N$ grand, que si $\sum_i r_i\,\deg(v_i) \geq m$, ce qui montre +l'inégalité annoncée. \end{proof} \begin{cor} @@ -4658,6 +4687,61 @@ cardinal au plus $[K : k(x)]$, qui est fini ; et pour ce qui est des pôles, il suffit de remplacer $x$ par $x^{-1}$. \end{proof} +\thingy L'identité du degré généralise le fait qu'un polynôme de +degré $d$ a au plus $d$ zéros, et même exactement $d$ si on compte les +zéros avec multiplicité dans une clôture algébrique. Pour voir le +rapport, considérons $h \in k[t]$ de degré $d > 0$ : alors $h$ (vu +comme un élément de $k(t)$) est transcendant sur $k$ d'après +\ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve}(A), mieux, l'extension $k(h) +\subseteq k(t)$ est algébrique de degré $d$. En effet, $t$ est racine +du polynôme $h(u) - h \in k(h)[u]$ de degré $d$ en +l'indéterminée $u$ ; et pour montrer que $1,\ldots,t^{d-1}$ sont +linéairement indépendants sur $k(h)$, supposons que $z_0 + z_1 t + +\cdots + z_{d-1} t^{d-1} = 0$ avec $z_i \in k(h)$, disons $z_i = +f_i\circ h$ où $f_i \in k(u)$, quitte à chasser les dénominateurs on +peut supposer $f_i \in k[u]$ non tous multiples de $u$ et quitte à +écrire $f_i = c_i + u g_i$ où $c_i = f_i(0) \in k$ non tous nuls et +$g_i \in k[u]$, c'est-à-dire $z_i = c_i + h\cdot g_i\circ h$, et on a +$c_0 + c_1 t + \cdots + c_{d-1} t^{d-1} \in k[t]/(h)$, ce qui est +impossible. Bref, $[k(t) : k(h)] = \deg h$ dans ce cas, et l'énoncé +du théorème \ref{degree-identity} est que $\sum_{i=1}^n v_i(h)\, +\deg(v_i) = \deg h$ où les $v_i$ sont les places où $h$ a un zéro ; +d'après la section \ref{subsection-places-of-the-projective-line}, les +$v_i(h)$ sont les multiplicités des facteurs irréductibles $h_i$ +divisant $h$ (i.e., « où $h$ a un zéro »), et les $\deg(v_i)$ sont les +degrés des facteurs $h_i$ en question. + +Si $h \in k(t)$ est une fraction rationnelle, la même formule permet +de voir que $[k(t) : k(h)]$ est égal à la somme des $v_i(h)\, +\deg(v_i)$ comme précédemment, c'est-à-dire le degré du numérateur, +plus éventuellement la contribution de la place $\infty$ (si +$v_\infty(h)\geq 0$), pour laquelle $\deg(v_\infty) = 1$ et +$v_\infty(h)$ est le degré du dénominateur moins celui du numérateur. +Autrement dit, le terme de gauche de l'égalité du +théorème \ref{degree-identity} est le \emph{maximum} du degré du +numérateur et du degré du dénominateur : il est raisonnable de définir +ainsi le degré d'une fraction rationnelle. + +En s'inspirant de ces cas particuliers, on fait la définition générale +suivante : + +\begin{defn} +Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$ et soit $h\in K$ : +alors on pose $\deg(h) = [K : k(h)]$ si $h$ est non constant, et +$\deg(h) = 0$ si $h$ est constante (\defin[degré (d'une fonction sur + une courbe)]{degré} de $x$). Ainsi, le +théorème \ref{degree-identity} se réécrit : +\[ +\sum_{i=1}^n v_i(h)\,\deg(v_i) = \deg(h) +\] +dès que $h \neq 0$, où $v_1,\ldots,v_n$ sont les places où $h$ a un +zéro. +\end{defn} + +On a vu ci-dessus que si $h$ est un polynôme, $\deg h$ est bien le +degré au sens usuel, et si $h$ est une fraction rationnelle, $\deg h$ +est le maximum du degré du numérateur et du dénominateur. + \subsection{Diviseurs sur les courbes}\label{subsection-divisors-on-curves} |