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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 462f6e1..1ad6385 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -4119,7 +4119,7 @@ implique $(r+1)\cdot 1 \leq u$ ce qui contredit la minimalité de $r$ : on a donc $u = r\cdot 1$, ce qu'on voulait montrer. \end{proof} -\thingy La propriété (C) du +\thingy\label{degree-of-a-place} La propriété (C) du lemme \ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve} montre que, pour toute place $v$ d'un corps de fonctions $K$ de courbe sur $k$, le corps résiduel $\varkappa_v$ est une extension finie, donc algébrique, @@ -4165,19 +4165,21 @@ $f \in K$ tel que $v(f) = 1$ (c'est-à-dire, avec la terminologie qu'on vient d'introduire, une fonction qui a un zéro d'ordre exactement $1$ en $v$). On parle aussi de \defin{paramètre local} pour $K$ en $v$. -\thingy D'après la +\thingy\label{constant-functions-on-a-curve} D'après la proposition \ref{valuation-rings-and-integral-closure}, la fermeture algébrique $\tilde k$ de $k$ dans $K$ coïncide avec l'ensemble des fonctions $f\in K$ telles que $v(f) \geq 0$ pour toute place $v \in -\mathscr{V}_K$, autrement dit, les fonctions qui n'ont pas de pôle ; -il s'agit également de l'ensemble des fonctions qui n'ont pas de zéro. -Ces fonctions seront dites \defin[constante (fonction)]{constantes}. -Pour dire les choses autrement, les conditions conditions suivantes -sur $f \in K$ sont équivalentes : +\mathscr{V}_K$, autrement dit, les fonctions qui n'ont pas de pôle. +En passant à l'inverse, il s'agit également de l'ensemble des +fonctions qui n'ont pas de zéro (plus la fonction identiquement +nulle). Ces fonctions seront dites \defin[constante + (fonction)]{constantes}. Pour dire les choses autrement, les +conditions conditions suivantes sur $f \in K$ sont équivalentes : \begin{itemize} \item $f$ est transcendant sur $k$, \item il existe au moins une place $v$ de $K$ où $f$ ait un pôle, -\item il existe au moins une place $v$ de $K$ où $f$ ait un zéro, +\item $f$ n'est pas nul, et il existe au moins une place $v$ de $K$ où + $f$ ait un zéro, \item $f$ n'est pas constante, \end{itemize} (la dernière étant la définition du mot « constant » dans ce @@ -4396,6 +4398,60 @@ f_i) > r_i$ et $v_i(z - z_i) > r_i$, si bien que $v_i(f - f_i) = r_i$ comme souhaité. \end{proof} +\begin{cor} +L'ensemble $\mathscr{V}_{K/k}$ des places d'un corps $K$ de fonctions +de courbe sur $k$ est infini. +\end{cor} +\begin{proof} +On a vu en \ref{valuations-on-curves-are-discrete} que tous les +éléments de $\mathscr{V}_{K/k}$ sont des valuations \emph{discrètes}. +Si cet ensemble était fini, disons $\mathscr{V}_{K/k} = +\{v_1,\ldots,v_n\}$, d'après le résultat \ref{weak-approximation} +qu'on vient de montrer, il existerait $f \in K$ tel que $v_i(f) = 1$ +pour tout $i$, c'est-à-dire $v(f) = 1$ pour toute place $v \in +\mathscr{V}_{K/k}$. Un tel $f$ contredit l'équivalence +en \ref{constant-functions-on-a-curve} (une fonction qui n'a aucun +pôle doit être constante, mais une fonction constante est soit +identiquement nulle soit n'a pas de zéro non plus). +\end{proof} + + +\subsection{L'identité du degré}\label{subsection-degree-identity} + +\begin{lem} +Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soient +$v_1,\ldots,v_n$ des places de $K$ sur $k$ et soient $r_1,\ldots,r_n +\in \mathbb{N}$. Alors la dimension du $k$-espace vectoriel $L := \{f +\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \leq -r_i\}$ est $\leq [\tilde k : k] + +\sum_{i=1}^n r_i\, \deg(v_i)$ où on rappelle que $\deg(v_i)$ (degré de +la place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$ +avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel +de $v_i$, et où $\tilde k$ est le corps des constantes (fermeture +algébrique de $k$ dans $K$, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}). +En particulier, cette dimension est finie. +\end{lem} +\begin{proof} +On procède par récurrence sur $\sum_{i=1}^n r_i$. Si les $r_i$ sont +tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \leq 0\}$ est +précisément $\tilde k$ +(cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est +vérifiée dans ce cas. + +Supposons la propriété vérifiée pour certains $r_j$ et montrons +qu'elle l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$, +par $r'_i := r_i+1$, avec $r'_j = r_j$ si $j\neq i$. Soit $L'$ +l'espace correspondant (défini de la même façon que $L$ mais avec +les $r'_j$). Soit $z$ tel que $v_j(z) = r_j+1$. Alors pour $f \in +L'$ on a $v_j(fz) \geq 0$, c'est-à-dire $fz \in \mathcal{O}_i$, et de +plus $fz \in \mathfrak{m}_i$ se produit exactement lorsque +$v_j(fz)\geq 1$ c'est-à-dire que $f \in L$. On a donc défini une +application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant $f$ sur la classe +de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$, dont le noyau +est $L$. En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) + +\dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui +conclut la récurrence. +\end{proof} + % TODO: |