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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 9bcd044..5d2f702 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -4836,11 +4836,11 @@ est le maximum du degré du numérateur et du dénominateur. Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$. Un \defin{diviseur} sur la courbe $C$ est une combinaison linéaire formelle à coefficients entiers de $k$-places de $K$ : autrement dit, -le groupe $\Divis(C)$ est défini comme le groupe abélien libre -$\bigoplus_{P\in\mathscr{V}_{K/k}} \mathbb{Z}$ de base l'ensemble -$\mathscr{V}_{K/k}$ des places de $C$. On notera $\sum_P n_P (P)$ une -telle combinaison (où $P$ parcourt les places de $C$ et les $n_P$ sont -des entiers relatifs tous nuls sauf un nombre fini). +le groupe $\Divis(C)$ des diviseurs est défini comme le groupe abélien +libre $\bigoplus_{P\in\mathscr{V}_{K/k}} \mathbb{Z}$ de base +l'ensemble $\mathscr{V}_{K/k}$ des places de $C$. On notera $\sum_P +n_P (P)$ une telle combinaison (où $P$ parcourt les places de $C$ et +les $n_P$ sont des entiers relatifs tous nuls sauf un nombre fini). Le \defin[degré (d'un diviseur)]{degré} d'un diviseur $D = \sum_P n_P \cdot (P)$ est défini comme $\deg(D) := \sum_P n_P \deg(P)$ où @@ -4874,7 +4874,7 @@ correspondant\footnote{Formellement, avec la présentation utilisée courbe (voire, un « point fermé »), et $\ord_P$ la « valuation en la place $P$ » ou « valuation correspondant à la place $P$ ».\label{footnote-place-versus-valuation}} à la -place $P$. +place $P$ (i.e., l'ordre [du zéro] en $P$ de $f$). \end{defn} \thingy Le théorème \ref{degree-identity} affirme que le degré du @@ -4886,27 +4886,30 @@ diviseur des pôles, est donc nul : $\divis(f) \in \Divis(C)^0$. Il faut souligner que $\divis(fg) = \divis(f) + \divis(g)$ d'après la propriété \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i) des -valuations. +valuations : $\divis$ définit donc un morphisme $K^\times \to +\Divis(C)$ (dont le noyau est le groupe $\tilde k^\times$ des +constantes non nulles). Si $D = \sum_P n_P\cdot (P)$ est un diviseur, certains appellent -valuation de $D$ en $P$ l'entier $n_P$ (ce qui fait donc que la -valuation de $\divis(f)$ en $P$ est par définition exactement la -valuation $\ord_P(f)$ de $f$ en $P$). On évitera cette terminologie. +« valuation » ou « ordre » ou « multiplicité » de $D$ en $P$ l'entier +$n_P$ (ce qui fait donc que la valuation de $\divis(f)$ en $P$ est par +définition exactement la valuation $\ord_P(f)$ de $f$ en $P$). On +évitera d'abuser de cette terminologie. \begin{defn}\label{definition-linear-equivalence-and-picard-group} Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, on appelle -\defin[principal (diviseur)]{diviseur} un diviseur sur $C$ (de degré -zéro) de la forme $\divis(f) := \sum_P \ord_P(f)\cdot (P)$ pour -une certaine fonction $f \in k(C)$ non nulle. Les diviseurs -principaux forment un sous-groupe du groupe des diviseurs, et même des -diviseurs de degré zéro : on dit que deux divieurs $D$ et $D'$ sont -\defin[linéairement équivalents (diviseurs)]{linéairement - équivalents}, et on note $D \sim D'$, lorsque leur différence $D'-D$ -est un diviseur principal. Le groupe des diviseurs (resp. diviseurs -de degré $0$) modulo les diviseurs principaux (=modulo équivalence -linéaire) s'appelle \defin[Picard (groupe de)]{groupe de Picard} -(resp. groupe de Picard de degré zéro) de la courbe $C$, et est -noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). +\defin[principal (diviseur)]{diviseur principal} un diviseur sur $C$ +(forcément de degré zéro, comme on l'a vu) de la forme $\divis(f) := +\sum_P \ord_P(f)\cdot (P)$ pour une certaine fonction $f \in k(C)$ non +nulle. Les diviseurs principaux forment un sous-groupe du groupe des +diviseurs, et même des diviseurs de degré zéro : on dit que deux +divieurs $D$ et $D'$ sont \defin[linéairement équivalents + (diviseurs)]{linéairement équivalents}, et on note $D \sim D'$, +lorsque leur différence $D'-D$ est un diviseur principal. Le groupe +des diviseurs (resp. diviseurs de degré $0$) modulo les diviseurs +principaux (=modulo équivalence linéaire) s'appelle \defin[Picard + (groupe de)]{groupe de Picard} (resp. groupe de Picard de degré +zéro) de la courbe $C$, et est noté $\Pic(C)$ (resp. $\Pic^0(C)$). \end{defn} \thingy À titre d'exemple, calculons le groupe de Picard de la droite @@ -4943,10 +4946,10 @@ par le degré) et $\Pic^0(\mathbb{P}^1_k) = 0$. \begin{defn} Soit $K = k(C)$ un corps de fonction de courbe sur $k$, et soit $D = -\sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire une -combinaison linéaire formelle, à coefficients entiers, de places -de $C$). On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de - Riemann-Roch} associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel +\sum_P n_P \cdot (P)$ un divisuer sur $C$ (c'est-à-dire la donnée d'un +entier $n_P$ pour chaque place de $P$, tous nuls sauf un nombre fini). +On appelle \defin[Riemann-Roch (espace de)]{espace de Riemann-Roch} +associé au diviseur $D$ le $k$-espace vectoriel \[ \begin{aligned} \mathscr{L}(D) &:= \{f \in K : (\forall P)\, \ord_P(f) \geq -n_P\}\\ @@ -4959,10 +4962,10 @@ où $n_P$ est strictement négatif ; et pas de pôle si $n_P$ est nul). Ici, $\ord_P(f)$ désigne la valuation de $f$ correspondant\footnote{Voir note \ref{footnote-place-versus-valuation} page \pageref{footnote-place-versus-valuation}.} à la place $P$, -c'est-à-dire le coefficient de $(P)$ dans $\divis(f)$. +c'est-à-dire le coefficient de $P$ dans $\divis(f)$. On note $\ell(D)$ la dimension de $\mathscr{L}(D)$ comme $k$-espace -vectoriel (on va voir qu'elle est toujours finie). +vectoriel (on va rappeler qu'elle est toujours finie). \end{defn} \begin{prop} @@ -5018,17 +5021,17 @@ En notant $D$ et $D'$ des diviseurs sur une même courbe : \subsection{Différentielles de Kähler}\label{subsection-kaehler-differentials} -\begin{defn} +\begin{defn}\label{definition-kaehler-differentials} Soit $k$ un corps (ou même un anneau) et $A$ une $k$-algèbre. On appelle espace des \defin{différentielles de Kähler} de $A$ sur $k$, et on note $\Omega^1_{A/k}$, le $A$-module engendré par des symboles formels $dx$ (ou $d_A x$ si on veut être plus précis) pour chaque $x \in A$, sujets aux relations : \begin{itemize} -\item $d(x+x') = dx + dx'$ si $x,x'\in A$, et $d(cx) = c\,dx$ si $c\in - k$ et $x\in A$ (i.e., $d\colon A \to \Omega^1_{A/k}$ +\item[(i)] $d(x+x') = dx + dx'$ si $x,x'\in A$, et $d(cx) = c\,dx$ si + $c\in k$ et $x\in A$ (i.e., $d\colon A \to \Omega^1_{A/k}$ est $k$-linéaire), et -\item $d(xy) = x\, dy + y\, dx$ si $x,y \in A$ +\item[(ii)] $d(xy) = x\, dy + y\, dx$ si $x,y \in A$ \end{itemize} (autrement dit, $\Omega^1_{A/k}$ est le quotient du $A$-module libre de base $\{dx : x\in A\}$ par le sous-module engendré par les @@ -5042,12 +5045,12 @@ satisfaisante serait de dire que $d\colon A \to \Omega^1_{A/k}$ a la propriété « universelle » que toute autre application $\delta\colon A \to M$ (où $M$ est un $A$-module) $k$-linéaire vérifiant $\delta(xy) = x\,\delta(y) + y\,\delta(x)$ (on dit que $\delta$ est une -\defin{dérivation} de $A$ à valeurs dans $V$) se factorise de façon +\defin{dérivation} de $A$ à valeurs dans $M$) se factorise de façon unique par $d$ (i.e., il existe une application $A$-linéaire $u\colon -\Omega^1_{A/k}\to V$ unique tel que $\delta(x) = u(dx)$). Il est +\Omega^1_{A/k}\to M$ unique tel que $\delta(x) = u(dx)$). Il est purement formel de vérifier que cette propriété caractérise -complètement $\Omega^1_{A/k}$, et est bien vérifiée de l'objet défini -ci-dessus. +complètement $\Omega^1_{A/k}$, et est bien vérifiée de l'objet +construit en \ref{definition-kaehler-differentials}. Pour une extension de corps $k \subseteq K$, le $K$-module $\Omega^1_{K/k}$ est facile à décrire, à condition de faire une @@ -5059,17 +5062,17 @@ propriétés suivantes sont équivalentes : \begin{itemize} \item si la caractéristique est $p>0$, alors dans $K$, les corps $K^p$ et $k$ sont linéairement disjoints sur $k^p$ - (cf. \ref{definition-linear-disjointness} ; i.e. les extensions $k^p - \subseteq K^p$ et $k^p \subseteq k$, tous deux contenues dans $K$, - sont linéairement disjointes), + (cf. \ref{definition-linear-disjointness} ; lire : les extensions + $k^p \subseteq K^p$ et $k^p \subseteq k$, tous deux contenues + dans $K$, sont linéairement disjointes), \item il existe une base de transcendance $(t_1,\ldots,t_n)$ pour laquelle $K$ est (algébrique) \emph{séparable} sur $k(t_1,\ldots,t_n)$ (cf. \ref{definition-separable-algebraic-extension}). \end{itemize} (Plus généralement, si on ne suppose plus $k \subseteq K$ de type -fini, la première condition est équivalente à la seconde pour toutes -les sous-extensions de type fini $k \subseteq K_0$ de $K$.) +fini, la première condition est équivalente à la seconde affirmée pour +toutes les sous-extensions de type fini $k \subseteq K_0$ de $K$.) \end{prop} \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} @@ -5091,8 +5094,9 @@ extension de corps en caractéristique $0$ est séparable (la première condition de \ref{separable-iff-separating-transcendence-basis} doit se lire comme trivialement vraie en caractéristique $0$). Plus généralement, lorsque $k$ est \emph{parfait} -(cf. \ref{definition-perfect-field}, par exemple, un corps fini), -toute extension $k \subseteq K$ est séparable +(cf. \ref{definition-perfect-field} ; par exemple, un corps fini), +\emph{toute} extension $k \subseteq K$, algébrique ou non, est +séparable d'après \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field} (qui généralise donc la remarque \ref{field-is-perfect-iff-every-algebraic-is-separable}). @@ -5157,15 +5161,15 @@ alors ils sont une base de transcendance séparante. courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors \emph{$\Omega^1_{K/k}$ est un $K$-espace vectoriel de dimension $1$}, -et une base (i.e., un élément non nul...) en est donnée par n'importe -quel $t\in K$ qui soit une base de transcendance séparante, -c'est-à-dire $t$ transcendant et $k(t) \subseteq K$ (algébrique) -séparable. +et une base (c'est-à-dire, un élément non nul) en est donnée par $dt$ +pour n'importe quel $t\in K$ qui soit une base de transcendance +séparante, autrement $t$ non constant et $k(t) \subseteq K$ +(algébrique) séparable. Si $t$ est un tel élément, c'est-à-dire que tout élément $\omega$ de -$\Omega^1_{K/k}$ est multiple de $dt$ par un coefficient unique, on -peut noter $\frac{\omega}{dt} \in K$ ce coefficient, et notamment, il -y a un sens à écrire $\frac{df}{dt}$ lorsque $f \in K$. +$\Omega^1_{K/k}$ est multiple de $dt$ par un coefficient uniquement +défini, on peut noter $\frac{\omega}{dt} \in K$ ce coefficient, et +notamment, il y a un sens à écrire $\frac{df}{dt}$ lorsque $f \in K$. \thingy À titre d'exemple, $\Omega^1_{k(t)/k}$ est le $k(t)$-espace vectoriel de dimension $1$ et de base le symbole formel $dt$. Pour @@ -5217,7 +5221,7 @@ unique $\omega = u t^i \alpha$ pour $u \in R^\times$ et $i \in \end{prop} \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} -\begin{defn} +\begin{defn}\label{definition-order-of-a-differential} Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), alors pour une place $P$ de $C$ et une différentielle de Kähler $\omega \in @@ -5239,7 +5243,13 @@ $\ord_P(\omega) < 0$, on dit qu'elle a un pôle en $P$. \thingy Si $\omega \in \Omega^1_{K/k}$ et $g \in K$, il est clair que $\ord_P(g\omega) = \ord_P(g) + \ord_P(\omega)$ (d'après la même propriété pour deux fonctions, i.e., -d'après \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i)). +d'après \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(i)). On notera +aussi que $\ord_P(df) \geq 0$ dès que $\ord_P(f) \geq 0$ (puisque les +$df$ pour $f \in \mathcal{O}_P$ appartiennent +à $\Omega^1_{\mathcal{O}_P/k}$ +d'après \ref{differentials-of-valuation-rings-of-a-curve}). Il n'est +pas difficile de se convaincre que $\ord_P$ est la plus petite +fonction qui possède les deux propriétés qu'on vient de signaler. La définition de $\ord_P(\omega)$ assez complexe. Heureusement, on va pouvoir la simplifier sous des hypothèses peu contraignantes @@ -5259,55 +5269,51 @@ transcendance séparante de $K$ sur $k$). \end{prop} \begin{proof}[Démonstration omise]\end{proof} -\begin{cor} +\begin{cor}\label{order-of-differential-wrt-uniformizer} Dans les conditions de la proposition \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}, on a donc : $\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt)$ pour tout $\omega \in -\Omega^1_{K/k}$. +\Omega^1_{K/k}$ (ceci ne dépend pas du choix de l'uniformisante $t$). \end{cor} \begin{proof} -On vient de voir que $dt$ est une base de $\Omega^1_{R/k}$, -c'est-à-dire que $\ord_P(dt) = 0$. On a alors $\ord_P(\omega) = -\ord_P(\omega/dt) + \ord_P(dt)$ comme on l'a signalé. +On vient de voir +en \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis} que $dt$ est +une base de $\Omega^1_{R/k}$, c'est-à-dire que $\ord_P(dt) = 0$. On a +alors $\ord_P(\omega) = \ord_P(\omega/dt) + \ord_P(dt)$ comme on l'a +signalé. \end{proof} \begin{prop}\label{order-of-derivatives} Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable -(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $t$ une -uniformisante en une $P \in \mathscr{V}_{K/k}$ elle-même séparable -(i.e., $\varkappa_P$ séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on -a : +(cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et $P \in +\mathscr{V}_{K/k}$ une place elle-même séparable (i.e., $\varkappa_P$ +séparable sur $k$) ; alors pour tout $f \in K$ on a : \begin{itemize} -\item $\ord_P(df/dt) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ - (i.e., $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et -\item $\ord_P(df/dt) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$. +\item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e., + si $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et +\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$. \end{itemize} \end{prop} \begin{proof} -D'après \ref{uniformizer-is-separating-transcendance-basis}, on sait -que $dt$ est une base de $\Omega^1_{K/k}$ et même de $\Omega^1_{R/k}$ -où $R = \mathcal{O}_P$. Ceci permet donc donner un sens à $df/dt$ -pour tout $f \in K$ ; et on a même $df/dt \in R$ si $f \in R$ (car -alors $df \in \Omega^1_{R/k}$). On vient donc de prouver le second -point. Pour ce qui est du premier, écrivons $f = u t^i$ où $i = -\ord_P(f)$ et $u \in R^\times$ (en +Soit $R := \mathcal{O}_P$ et soit $t$ une uniformisante en $P$ (i.e., +$\ord_P(t) = 1$). + +La seconde propriété citée a déjà été signalée (elle affirme que les +$df$ pour $f \in R$ appartiennent $\Omega^1_{R/k}$). Reste à montrer +la première. + +D'après \ref{order-of-differential-wrt-uniformizer}, on sait que +$\ord_P(df) = \ord_P(df/dt)$. Écrivons $f = u t^i$ où $i = \ord_P(f)$ +et $u \in R^\times$ (en utilisant \ref{discrete-valuation-rings-are-principal}). On a alors $df = i\,u\,t^{i-1}\,dt + t^i\,du$, soit $\frac{df}{dt} = i\,u\,t^{i-1} + t^i\,\frac{du}{dt}$. Si $i\neq 0$, le premier terme a valuation exactement $i-1$ et le second a valuation $\geq i$ (car -$du/dt \in R$ comme on vient de le voir), donc la valuation de la -somme est $i-1$ (on +$du/dt \in R$ comme on vient de le voir au paragraphe précédent), donc +la valuation de la somme est $i-1$ (on utilise \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). \end{proof} -La proposition \ref{order-of-derivatives} signifie que pour $f \in K$ -non nul : -\begin{itemize} -\item $\ord_P(df) = \ord_P(f)-1$ si $\ord_P(f) \neq 0$ dans $k$ (i.e., - $\ord_P(f)$ n'est pas multiple de la caractéristique), et -\item $\ord_P(df) \geq 0$ si $\ord_P(f) \geq 0$. -\end{itemize} - \begin{prop} Si $K = k(C)$ est un corps de fonction de courbe sur $k$, séparable (cf. \ref{discussion-separability-of-function-fields}), et soit @@ -5336,7 +5342,7 @@ le diviseur \divis(\omega) := \sum_P \ord_P(\omega)\cdot (P)\\ \] dont le coefficient devant chaque place $P$ est l'ordre de $\omega$ en -cette place. +cette place (cf. \ref{definition-order-of-a-differential}). \end{defn} \thingy À titre d'exemple, calculons $\divis(dt)$ sur $\mathbb{P}^1_k$ @@ -5353,7 +5359,23 @@ or $dh = h'\,dt$ (où $h'$ est la dérivée usuelle du polynôme $h$) donc $0 = \ord_P(dh) = \ord_P(h') + \ord_P(dt)$, et comme $\ord_P(h') \geq 0$ puisque $h' \in k[t]$ et que $\ord_P(dt) \geq 0$, la seule possibilité est que les deux termes sont nuls, donc en fait -$\ord_P(dt) = 0$ pour chaque place $P$ autre que $\infty$. +$\ord_P(dt) = 0$ pour chaque place $P$ autre que $\infty$. Bref, on a +montré que $\ord_P(dt) = -2(\infty)$. + +\thingy Si $\omega$ et $\omega'$ sont deux différentielles non nulles +sur une même courbe $C$, en appelant $h \in K^\times$ l'unique élément +tel que $\omega' = h\omega$ (vu que $\Omega^1_{K/k}$ est de +dimension $1$), on a $\divis(\omega') = \divis(h) + \divis(\omega)$, +c'est-à-dire que les diviseurs canoniques associés à $\omega$ et +$\omega'$ diffèrent par un diviseur principal, autrement dit, sont +linéairement équivalents +(cf. \ref{definition-linear-equivalence-and-picard-group}). + +On peut donc appeler \defin{classe canonique} la +classe\footnote{Normalement la classe canonique est plutôt notée par + la lettre $K$, mais ici nous utilisons systématiquement $K$ pour le + corps des fonctions.} $W \in \Pic(C)$ de n'importe quel diviseur +canonique. |