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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 731ad85..dd1f24d 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -23,7 +23,7 @@ \usepackage[usenames,dvipsnames]{xcolor} \usepackage{tikz} \usetikzlibrary{matrix} -\usepackage{hyperref} +\usepackage[hyperindex=false]{hyperref} % \theoremstyle{definition} \newtheorem{comcnt}{Tout}[subsection] @@ -70,7 +70,7 @@ % \makeindex \begin{document} -\title{Courbes algébriques\\(notes provisoires)} +\title{Courbes algébriques\\(notes de cours)} \author{David A. Madore} \maketitle @@ -92,11 +92,6 @@ Git: \input{vcline.tex} % % -{\color{brown!70!black}\textbf{Version provisoire incomplète} de ces - notes (voir la ligne « Git » ci-dessus pour la date de dernière - modification). La numérotation \emph{devrait} ne pas changer, mais - ce n'est pas complètement exclu.} - {\footnotesize \tableofcontents \par} @@ -287,7 +282,7 @@ alors cet élément lui-même est nilpotent, ce qui est évident. \thingy\label{definition-fraction-field} Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$, -dit \index{fractions (corps des)}\defin{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les +dit \index{fractions (corps des)|see{corps des fractions}}\defin{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A \setminus\{0\}$, en convenant d'identifier $\frac{a}{q}$ avec $\frac{a'}{q'}$ lorsque $aq' = a'q$ (i.e., formellement, $\Frac(A)$ @@ -335,7 +330,7 @@ par ailleurs $f \in A[t]$ est irréductible (dans $A[t]$) si et seulement si $f$ est constant et irréductible dans $A$, \emph{ou bien} $f$ est irréductible \underline{dans $K[t]$} et le pgcd (dans $A$) des coefficients de $f$ vaut $1$ (on dit que $f$ est \defin[primitif (polynôme)]{primitif} -lorsque cette dernière condition est vériifée). Le point-clé dans la +lorsque cette dernière condition est vérifiée). Le point-clé dans la démonstration est de montrer que le pgcd $c(f)$ des coefficients d'un polynôme dans $A[t]$, aussi appelé \defin{contenu} de $f$, est multiplicatif (i.e., $c(fg) = c(f)\,c(g)$) ; la décomposition en @@ -534,7 +529,7 @@ alors $k[t]/(\mu)$ est une $k$-algèbre de dimension finie intègre donc (cf. \ref{finite-integral-algebra-is-a-field}) une extension de corps de $k$ dans laquelle la classe $x := \bar t$ de l'indéterminée $t$ est algébrique de polynôme minimal $\mu$ : ce corps $k(x) = k[t]/(\mu)$ -est appelé \index{rupture (corps de)}\defin{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$ +est appelé \index{rupture (corps de)|see{corps de rupture}}\defin{corps de rupture} du polynôme irréductible $\mu$ sur $k$ (lorsque $\mu$ n'est pas unitaire, on peut encore parler de corps de rupture quitte à diviser par le coefficient dominant ; en revanche, l'irréductibilité est essentielle), et il va de soi que le @@ -1144,7 +1139,7 @@ annoncé. \begin{defn} Soit $K$ un corps et $\mu \in K[t]$ un polynôme irréductible. On -appelle \index{rupture (corps de)}\defin{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K +appelle \defin{corps de rupture} de $\mu$ sur $K$ une extension $K \subseteq L$ telle que $\mu$ admette une racine $x$ dans $K$ pour laquelle $L = K(x)$. (Bien sûr, $\mu$ est alors le polynôme minimal de $x$ sur $K$.) @@ -1184,7 +1179,7 @@ est un corps contenant $K$ et $x'$ et qu'on a $L' = K(x')$. \begin{defn}\label{definition-decomposition-field} Soit $K$ un corps et $f \in K[t]$ un polynôme quelconque. On appelle -\index{décomposition (corps de)}\defin{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K +\index{décomposition (corps de)|see{corps de décomposition}}\defin{corps de décomposition} de $f$ sur $K$ une extension $K \subseteq L$ telle que $f$ soit scindé (=complètement décomposé) sur $L$, i.e., $f = c\prod_{i=1}^n (t-x_i)$ (avec $c$ le coefficient dominant de $f$, et $x_1,\ldots,x_n$ ses racines avec multiplicité) et @@ -2726,7 +2721,7 @@ La terminologie « point fermé » vient de ce que ce sont des possible. Le corps $k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{m}$ s'appelle \index{résiduel - (corps)}\defin{corps résiduel} du point fermé $Z(\mathfrak{m})$, + (corps)|see{corps résiduel}}\defin{corps résiduel} du point fermé $Z(\mathfrak{m})$, souvent noté $\varkappa_{\mathfrak{m}}$, et la classe modulo $\mathfrak{m}$ d'un polynôme s'appelle \defin{évaluation} du polynôme au point fermé en question. (Dans le cas [du singleton] d'un point @@ -3639,8 +3634,7 @@ non-singulières). \subsection{Anneaux de valuations}\label{subsection-valuation-rings} \begin{defn}\label{definition-valuation-ring} -Soit $K$ un corps. On appelle \index{valuation (anneau - de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ un sous-anneau $R$ de $K$ +Soit $K$ un corps. On appelle \index{valuation (anneau de)|see{anneau de valuation}}\defin{anneau de valuation} de $K$ un sous-anneau $R$ de $K$ vérifiant la propriété suivante : \begin{center} pour tout $x \in K$, on a soit $x \in R$ soit $x^{-1} \in R$. |