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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index e70e4d1..d236478 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -123,7 +123,8 @@ $k$-algèbre est donc un $k$-espace vectoriel muni d'une multiplication $k$-bilinéaire qui en fait un anneau, et le morphisme structural est automatiquement injectif si l'algèbre n'est pas l'algèbre nulle. -\thingy Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est +\thingy\label{regular-elements-and-prime-ideals} +Un élément $a$ d'un anneau $A$ (sous-entendu : commutatif) est dit \textbf{régulier}, resp. \textbf{inversible}, lorsque $x \mapsto ax$ est injectif, resp. bijectif, autrement dit lorsque $ax = 0$ implique $x = 0$ (la réciproque est toujours vraie), resp. lorsqu'il @@ -177,6 +178,10 @@ premier mais non maximal puisque $k[x,y]/(y) \cong k[x]$, tandis que l'idéal $(x,y)$ (des polynômes s'annulant à l'origine) est maximal puisque $k[x,y]/(x,y) \cong k$. +Plus généralement, dans un anneau factoriel $A$, tout idéal de la +forme $(f)$ avec $f \in A$ irréductible, est premier (mais ce ne sont, +en général, pas les seuls). + \bigbreak Le résultat ensembliste suivant sera admis : @@ -284,6 +289,9 @@ cf. ci-dessous) qui prolonge $\varphi$ (i.e., $\hat\varphi(a) = \varphi(a)$ si $a\in A$). En effet, il suffit de définir $\hat\varphi(\frac{a}{q})$ par $\varphi(a)/\varphi(q)$. +Ainsi, $\Frac(A)$ est \emph{engendré en tant que corps} par les +éléments de $A$ (comparer \ref{subfield-generated}). + \thingy Le corps des fractions de l'anneau $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$ indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ sur un corps $k$ est appelé corps des \textbf{fractions rationnelles} (ou parfois @@ -981,7 +989,7 @@ $J$ ont même cardinal (en utilisant le fait que, pour $I$ infini, $I$ est équipotent à l'ensemble de ses parties finies). \end{proof} -\begin{defn} +\begin{defn}\label{definition-transcendence-degree} Si $k \subseteq K$ est une extension de corps, le cardinal d'une base de transcendance de $K$ sur $k$ (dont on vient de montrer qu'il ne dépend pas du choix de celle-ci) s'appelle \textbf{degré de @@ -2106,6 +2114,10 @@ contredisant la minimalité de $n$. \end{proof} +% +% +% + \section{Le Nullstellensatz et les fermés de Zariski} \subsection{Anneaux noethériens} @@ -2398,7 +2410,8 @@ $p_1 h_1 + \cdots + p_m h_m = g^\ell$, ce qu'on voulait montrer. \subsection{Fermés de Zariski} -\thingy Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit +\thingy\label{radical-ideals} +Un idéal $\mathfrak{r}$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{radical} lorsque l'anneau $A/\mathfrak{r}$ est réduit (cf. \ref{nilpotent-element-and-reduced-ring}), c'est-à-dire que si $x^n \in \mathfrak{r}$ implique $x \in \mathfrak{r}$ (pour $x\in A$ et @@ -2411,6 +2424,10 @@ aussi l'intersection des idéaux premiers de $A$ contenant $I$ ; et cet idéal est lui-même radical. On l'appelle le radical de l'idéal $I$ et on le note $\surd I$. +Un idéal premier (cf. \ref{regular-elements-and-prime-ideals}), et +\textit{a fortiori} un idéal maximal, est en particulier un idéal +radical. + \bigbreak Dans ce qui suit, soit $k$ un corps et $k^{\alg}$ une clôture algébrique. @@ -2545,7 +2562,7 @@ coordonnées sur la base $(v_i)$ sont $0$ sauf sur $v_0$, donc il appartient bien à $I$. \end{proof} -\begin{prop} +\begin{prop}\label{zeros-and-ideals-bijections} Soit $k$ un corps et $k^{\alg}$ une clôture algébrique. On utilise les notations $Z$ et $\mathfrak{I}$ introduites en \ref{notation-zeros-of-polynomials} et \ref{notation-polynomials-vanishing}. @@ -2604,6 +2621,122 @@ Avec le point de vue choisi ici, on a $Z(t^2+1) = \{\pm i\} \subseteq de Zariski défini sur $\mathbb{R}$ (c'est, en revanche, un fermé de Zariski défini sur $\mathbb{C}$). +\thingy\label{regular-functions-on-a-zariski-closed-set} Si $I$ est un +idéal radical de $k[t_1,\ldots,t_d]$ si bien que $\mathfrak{I}(Z(I)) = +I$ comme on vient de le voir en \ref{zeros-and-ideals-bijections}, on +peut donner une interprétation de $k[t_1,\ldots,t_d]/(I)$ comme suit : + +Considérons l'application qui à un polynôme $f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ +associe la restriction à $Z(I)$ de ce polynôme, vu comme une +application de $(k^{\alg})^d$ vers $k^{\alg}$ ; autrement dit, +\begin{align*} +k[t_1,\ldots,t_d] &\to (k^{\alg})^{Z(I)}\\ +f &\mapsto ((x_1,\ldots,x_d) \mapsto f(x_1,\ldots,x_d)) +\end{align*} +Il s'agit manifestement d'un morphisme d'anneaux (en munissant +$(k^{\alg})^{Z(I)}$ des opérations point à point) dont le noyau est +$\mathfrak{I}(Z(I))$ par définition. Il s'ensuit que son image, +c'est-à-dire les restrictions à $Z(I)$ des polynômes dans +$k[t_1,\ldots,t_d]$, s'identifie à +$k[t_1,\ldots,t_d]/\mathfrak{I}(Z(I))$, c'est-à-dire +$k[t_1,\ldots,t_d]/I$. Cet anneau quotient s'appelle l'\textbf{anneau + des fonctions régulières} du fermé de Zariski $Z(I)$ (une fonction +régulière est donc simplement la restriction d'un polynôme). + + +% +% +% + +\section{Corps de courbes algébriques} + +\subsection{Définition} + +\thingy Soit $k$ un corps. On appelle \textbf{corps de fonctions de + dimension $n$} sur $k$ une extension de corps de $k$ qui soit de +type fini (cf. \ref{subfield-generated}) et de degré de +transcendance $n$ sur $k$ (cf. \ref{definition-transcendence-degree}). +Notamment, pour $n=1$, on parle de \textbf{corps de fonctions de + courbe} sur $k$. + +Par abus de langage, on dira parfois simplement que $K$ est une +« courbe » (algébrique) sur $k$ ; ou bien on dira que $K$ est le corps +des fonctions [rationnelles] de la courbe $C$ et on notera alors $K = +k(C)$ (on ne définit pas ce qu'« est » $C$, voir les exemples +ci-dessous). + +\danger Il existe un certain nombre de variations entre auteurs autour +de cette définition, pour essentiellement deux raisons : +\textbf{(a)} le cadre dans lequel on considère les courbes n'est pas +forcément le même (dans ce cours, nous avons choisi de définir les +courbes à travers leur corps des fonctions, c'est-à-dire leurs +fonctions rationnelles, plutôt que leur \emph{anneau(s)} de fonctions +régulières, c'est-à-dire leurs fonctions polynomiales : l'avantage est +que cela simplifie l'étude ; l'inconvénient est que l'étude des +courbes singulières n'est pas possible : par exemple, la courbe +d'équation $y^2 = x^3$ dans le plan va simplement revenir à celle de +la droite qui la paramètre par $t \mapsto (x,y) = (t^2,t^3)$, et de +même on ne peut pas retirer des points à une courbe ; pour cette +raison, ce que nous appelons « courbe » s'appellerait « courbe normale + projective » chez d'autres auteurs), et \textbf{(b)} les hypothèses +effectuées ne sont pas forcément les mêmes (notamment, beaucoup +d'auteurs restreignent les courbes à ce qu'on appellera plus bas les +courbes « géométriquement intègres »). + +\thingy La courbe la plus simple est donnée par le corps $k(t)$ des +fractions rationnelles en une indéterminée $t$ : on l'appelle +\textbf{droite projective} sur $k$ et on peut la noter +$\mathbb{P}^1_k$ ou simplement $\mathbb{P}^1$ (ainsi, +$k(\mathbb{P}^1_k) := k(t)$). + +Il faut imaginer les éléments de $k(t)$ comme des fonctions +rationnelles sur la droite affine : on verra plus loin comment définir +les points de la droite, mais on peut au moins dire ceci : si $x$ est +un élément de $k$ ou bien le symbole spécial $\infty$, et si $f \in +k(t)$, on définit $f(x)$ comme l'évaluation (=la valeur) de $f$ en $x$ +ou bien le symbole spécial $\infty$ si $f$ a un pôle en $x$ (lorsque +$x = \infty$, l'évaluation de $f$ en $x$ peut se définir comme celle +de la fraction rationnelle $f(\frac{1}{t})$ en $0$ ; sur les réels ou +les complexes, c'est simplement la limite de $f$ en $\infty$ ou bien +$\infty$ si $f$ n'est pas borné). + +\thingy Si $P \in k[x,y]$ est un polynôme irréductible en deux +indéterminées $x,y$ et faisant effectivement intervenir $y$, on peut +le voir comme un élément de $k(x)[y]$, qui est encore irréductible +(cf. \ref{gauss-lemma-on-irreducibility}), ce qui définit donc un +corps de rupture $k(x)[y]/(P)$ +(cf. \ref{monogeneous-extensions-dichotomy-bis} +et \ref{existence-uniqueness-rupture-field}) qu'on notera généralement +$k(x,y : P=0)$ ; c'est aussi le corps des fractions de $k[x,y]/(P)$ +(puisque c'est un corps contenant $k[x,y]/(P)$ et engendré par lui). + +On souhaite dire qu'il s'agit du corps de fonctions $k(C)$ de la +« courbe plane » $C := \{P=0\}$ : à ce stade-là, il s'agit d'une +notation purement formelle, mais on peut faire les remarques suivantes +pour l'éclaircir. + +On a introduit en \ref{notation-zeros-of-polynomials} la notation +$Z(P) := \{(x,y) \in (k^{\alg})^2 : P(x,y) = 0\}$ pour l'ensemble des +zéros de $P$ (dans une clôture algébrique !) : appelons $C_P$ cet +ensemble. Comme $P$ est irréductible, l'idéal $(P)$ est premier +(cf. \ref{regular-elements-and-prime-ideals}), donc radical +(cf. \ref{radical-ideals}) : la +proposition \ref{zeros-and-ideals-bijections} implique donc que $(P)$ +est l'idéal des polynômes qui s'annulent identiquement sur $C_P$, et +on a expliqué en \ref{regular-functions-on-a-zariski-closed-set} que +les éléments de $k[x,y]/(P)$ peuvent s'identifier aux fonctions +régulières sur $C_P$, c'est-à-dire les restrictions à $C_P$ des +éléments de $k[x,y]$ (vus comme des fonctions $(k^{\alg})^2 \to +k^{\alg}$). Le corps $k(C) = \Frac(k[x,y]/(P))$ dont on vient de +parler peut donc se voir comme l'ensemble des quotients de deux +fonctions régulières (i.e., polynomiales) sur $C_P$ dont le +dénominateur n'est pas identiquement nul sur $C_P$ : il est donc +raisonnable d'appeler ce corps « corps des fonctions sur $C_P$ ». + +\thingy La +proposition \ref{separating-transcendence-basis-over-perfect-field} +montre que, au moins si $k$ est un corps parfait, on peut toujours se +ramener à la situation qui vient d'être décrite. |