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diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index c379b8b..e6ea133 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -202,6 +202,45 @@ que $1$ n'y appartient pas). Le principe maximal de Hausdorff permet de conclure. \end{proof} +\thingy Un élément $x$ d'un anneau $A$ est dit \textbf{nilpotent} +lorsqu'il existe $n\geq 0$ tel que $x^n = 0$ (un anneau dans lequel le +seul élément nilpotent est $0$ est dit \textbf{réduit}). + +\begin{prop} +Dans un anneau, l'ensemble des éléments nilpotents est un idéal : +cet idéal est aussi l'intersection des idéaux premiers de l'anneau. +(On l'appelle le \textbf{nilradical} de l'anneau.) +\end{prop} +\begin{proof} +L'ensemble des nilpotents est un idéal car si $x^n=0$ et $y^n=0$ alors +$(x+y)^{2n}=0$ en développant. Il est inclus dans tout idéal +premier $\mathfrak{p}$, car $x^n \in \mathfrak{p}$ (et à plus forte +raison $x^n = 0$) implique $x \in \mathfrak{p}$ par récurrence +sur $n$. Reste à montrer que si $z$ est inclus dans tout idéal +premier, alors $z$ est nilpotent. + +Supposons que $z$ n'est pas nilpotent. Considérons $\mathfrak{p}$ un +idéal maximal pour l'inclusion parmi les idéaux ne contenant aucun +$z^n$ : un tel idéal existe d'après le principe maximal de Hausdorff +(il existe un idéal ne contenant aucun $z^n$, à savoir $\{0\}$). +Montrons qu'il est premier : si $x,y \not \in \mathfrak{p}$, on veut +voir que $xy \not\in \mathfrak{p}$. Par maximalité de $\mathfrak{p}$, +chacun des idéaux\footnote{On rappelle que si $I,J$ sont deux idéaux + d'un anneau, l'ensemble $I + J = \{u+v : u\in I, v\in J\}$ est un + idéal, c'est l'idéal engendré par $I\cup J$, c'est-à-dire, le plus + petit idéal contenant $I$ et $J$ ; on l'appelle idéal somme de $I$ + et $J$. Dans le cas particulier où $J = (x)$ est engendré par un + élément, c'est donc l'idéal engendré par $I\cup\{x\}$.} +$\mathfrak{p}+(x)$ et $\mathfrak{p}+(y)$ doit rencontrer $\{z^n\}$, +c'est-à-dire qu'on doit pouvoir trouver deux éléments de la forme +$f+ax$ et $g+by$ avec $f,g\in\mathfrak{p}$ et $a,b\in A$, qui soient +des puissances de $z$ ; leur produit est alors aussi une puissance +de $z$, donc n'est pas dans $\mathfrak{p}$, donc $abxy +\not\in\mathfrak{p}$ (car les trois autres termes sont +dans $\mathfrak{p}$), et a plus forte raison $xy \not\in +\mathfrak{p}$. +\end{proof} + \thingy Si $A$ est un anneau intègre, on définit un corps $\Frac(A)$, dit \textbf{corps des fractions} de $A$, dont les éléments sont les symboles formels $\frac{a}{q}$ avec $a \in A$ et $q \in A |