From 1e6508bf0d30c0b94d24024ee038936ee9396615 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sun, 17 Apr 2016 18:38:37 +0200 Subject: Give slightly more details on some exercise questions. --- exercices-courbes.tex | 9 ++++++--- 1 file changed, 6 insertions(+), 3 deletions(-) diff --git a/exercices-courbes.tex b/exercices-courbes.tex index 81bd76c..3054aa7 100644 --- a/exercices-courbes.tex +++ b/exercices-courbes.tex @@ -236,10 +236,12 @@ y$ est complètement déterminée (la valuation d'une somme dont les termes sont de valuations \emph{différentes} est le plus petit des valuations des termes, cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a -complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près. Mais puisque +complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près, à savoir $e +\min(v_\infty(f_0), v_\infty(f_1) - \frac{3}{2})$. Mais puisque l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(x) = -2$ et -$w(y) = -3$. +$w(y) = -3$, et plus généralement $w(f_0 + f_1 y) = \min(2 +v_\infty(f_0), 2 v_\infty(f_1) - 3)$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence @@ -369,7 +371,8 @@ cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}(ii.b)). Bref, on a complètement caractérisé $w$, à la donnée de $e$ près. Mais puisque l'image de $w$ doit être $\mathbb{Z} \cup \{\infty\}$ (condition de normalisation), on a forcément $e = 2$, c'est-à-dire $w(f_\sharp(x)) = -2$ et $w(y) = 1$. +2$ et $w(y) = 1$. On a alors $w(f_0 + f_1 y) = \min(2 +v_{f_\sharp}(f_0), 2 v_{f_\sharp}(f_1) + 1)$. Enfin, on constate que ceci définit bien une valuation sur $K$ (soit en le vérifiant à la main ; soit en invoquant le théorème d'existence -- cgit v1.2.3