From 26f4ed29bc647078932981a6078d8bcbc3926fcb Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Wed, 23 Mar 2016 18:48:41 +0100 Subject: Valuations, discrete valuations. --- notes-accq205.tex | 50 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 49 insertions(+), 1 deletion(-) diff --git a/notes-accq205.tex b/notes-accq205.tex index 22c0e30..c034ed2 100644 --- a/notes-accq205.tex +++ b/notes-accq205.tex @@ -3467,7 +3467,55 @@ peuvent pas être représentées comme des courbes planes non-singulières). -% \subsection{Places}\label{subsection-places-of-function-fields} +\subsection{Places}\label{subsection-places-of-function-fields} + +\begin{defn} +Soit $k \subseteq K$ une extension de corps. On appelle +\index{valuation (anneau de)}\defin{anneau de valuation} de $K$ +au-dessus de $k$ un sous-anneau $R$ de $K$ contenant $k$ et vérifiant +la propriété suivante : +\begin{center} +pour tout $x \in K$, on a soit $x \in R$ soit $x^{-1} \in R$. +\end{center} +Lorsque de plus $R \neq K$, on dit qu'il s'agit d'un anneau de +valuation \emph{non-trivial}. +\end{defn} + +\thingy Dans les conditions ci-dessus, $R$ est un anneau intègre +(puisque c'est un sous-anneau d'un corps), et il est clair que $K$ est +l'anneau des fractions de $R$ (tout élément de $K$ est quotient +d'éléments de $R$ puisqu'il est même toujours de la forme $x$ ou +$\frac{1}{x}$ !). + +On dira qu'un élément $x$ de $K$ a une \emph{valuation plus grande} +(pour $R$) qu'un élément $y$ lorsque $x = yz$ avec $z \in R$ ; on +dira, bien sûr, qu'ils ont la \emph{même valuation} lorsque $x = yz$ +avec $z \in R^\times$ (lire : $z$ inversible dans $R$), ce qui +signifie bien sûr exactement que $x$ a une valuation plus grande +que $y$ et réciproquement. Il s'agit là d'une relation d'équivalence +sur $K$ : les classes d'équivalences des éléments non nuls s'appellent +les \emph{valuations} : on notera $v_R(x)$ ou simplement $v(x)$ pour +la valuation de $x$ ; la classe de $0$ sera mise à part et +notée $\infty$ (on écrira $v(0) = \infty$ mais on ne considère +généralement pas qu'il s'agisse d'une valuation). La définition d'un +anneau de valuation fait qu'on a défini une relation d'ordre +\emph{total} sur l'ensemble des valuations (plus $\infty$ qui est le +plus grand élément). + +On définit $v(x)+v(y)$ comme $v(xy)$ et on note $0$ pour $v(1)$ : +cette définition a bien un sens comme on le vérifie facilement, et +fait de l'ensemble des valuations (non compté le symbole +spécial $\infty$) un \emph{groupe}, appelé \textbf{groupe des + valuations} de $R$ (ou de $K$ pour $R$), qui n'est autre que le +groupe quotient $K^\times/R^\times$. Avec l'ordre qu'on a mis +ci-dessus, il s'agit d'un \emph{groupe ordonné}, c'est-à-dire que si +$u \geq v$ alors $u+w \geq v+w$ quel que soit $w$. + +Lorsque le groupe des valuations est $\mathbb{Z}$, c'est-à-dire qu'il +est engendré par un unique élément (on peut alors choisir un +générateur strictement positif, qui est forcément le plus petit +élément strictement positif, et qu'on peut noter $1$), on dira que $R$ +est un anneau de valuation \defin[discrète (valuation)]{discrète}. -- cgit v1.2.3