From 2bbd1ffe850e7508e2f71388a07053aecab60413 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sat, 10 Feb 2018 20:40:41 +0100 Subject: Regular functions on a Zariski closed set. --- notes-accq205-v2.tex | 83 ++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++-------- 1 file changed, 70 insertions(+), 13 deletions(-) diff --git a/notes-accq205-v2.tex b/notes-accq205-v2.tex index f686184..109f87c 100644 --- a/notes-accq205-v2.tex +++ b/notes-accq205-v2.tex @@ -40,6 +40,7 @@ \renewcommand{\qedsymbol}{\smiley} % \newcommand{\id}{\operatorname{id}} +\newcommand{\im}{\operatorname{im}} \newcommand{\Frac}{\operatorname{Frac}} \newcommand{\degtrans}{\operatorname{deg.tr}} \newcommand{\Frob}{\operatorname{Frob}} @@ -139,6 +140,23 @@ et l'application $J \mapsto J/I$ définit une bijection entre idéaux $J$ de $A$ contenant $I$ et idéaux de $A/I$. De surcroît, le quotient de $A/I$ par $J/I$ s'identifie à $A/J$. +\thingy\label{review-of-canonical-factorization} On aura fréquemmment +besoin du fait suivant : quel que soit le morphisme d'anneaux +$\psi\colon A\to B$, l'\emph{image} $\im\psi := \{\psi(x) : x\in A\}$ +de $\psi$ (qui est un sous-anneau de $B$) s'identifie au quotient +$A/\ker\psi$ de $A$ par le noyau de $\psi$ : l'identification se fait +par l'isomorphisme $\tilde\psi$ qui envoie la classe de $z\in A$ +modulo $\ker\psi$ sur l'image $\psi(z) \in B$. (Si on veut, on a +factorisé le morphisme $\psi\colon A\to B$ comme composée de la +surjection canonique $A \to A/\ker\psi$, suivie d'un isomorphisme +$\tilde\psi$, suivie de l'injection canonique $\im\psi\to B$.) De +façon plus concise, « un morphisme d'anneaux identifie son image au +quotient de sa source par son noyau ». + +Dans le cas particulier où $\psi$ est surjectif, ceci signifie qu'un +morphisme surjectif $\psi\colon A\to B$ permet d'identifier $B$ au +quotient $A/\ker\psi$ de $A$ par son noyau. + \thingy\label{ideal-generated-by-elements} Si $(x_i)_{i\in \Lambda}$ sont des éléments de $A$, l'intersection de tous les idéaux contenant les $x_i$ est un idéal et s'appelle l'idéal \defin[engendré @@ -570,20 +588,20 @@ apparaît : si aucune remarque n'est faite et que les $x_i$ n'ont pas été introduits auparavant, il est généralement sous-entendu que ce sont des indéterminées. -\thingy Une $k$-algèbre $A$ est de type fini lorsqu'il existe +\thingy\label{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings} +Une $k$-algèbre $A$ est de type fini lorsqu'il existe $x_1,\ldots,x_n \in A$ tels que le morphisme $k[t_1,\ldots,t_n] \to A$ (de la $k$-algèbre $k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes en $n$ indéterminées vers $A$), dit morphisme d'évaluation, qui à $f$ associe -$f(x_1,\ldots,x_n)$ est \emph{surjectif}. Or on rappelle qu'un -morphisme d'anneaux surjectif $\psi\colon A' \to A$ permet -d'identifier\footnote{L'identification se fait par l'isomrphisme qui - envoie la classe de $z\in A'$ modulo $\ker\psi$ sur l'image $\psi(z) - \in A$.} l'image $A$ au quotient $A'/\ker\psi$ de $A'$ par le noyau -de $\psi$. Donc toute $k$-algèbre de type fini peut s'écrire sous la -forme du quotient $k[t_1,\ldots,t_n]/I$ d'un anneau de polynômes -$k[t_1,\ldots,t_n]$ par un idéal de ce dernier ; réciproquement, un -tel quotient est visiblement de type fini (il est engendré par les -classes modulo $I$ des indéterminées). +$f(x_1,\ldots,x_n)$ est \emph{surjectif}. Or on rappelle +(cf. \ref{review-of-canonical-factorization}) qu'un morphisme +d'anneaux surjectif $\psi\colon A' \to A$ permet d'identifier l'image +$A$ au quotient $A'/\ker\psi$ de $A'$ par le noyau de $\psi$. Donc +toute $k$-algèbre de type fini peut s'écrire sous la forme du quotient +$k[t_1,\ldots,t_n]/I$ d'un anneau de polynômes $k[t_1,\ldots,t_n]$ par +un idéal de ce dernier ; réciproquement, un tel quotient est +visiblement de type fini (il est engendré par les classes modulo $I$ +des indéterminées). En résumé, on peut donc dire qu'une $k$-algèbre de type fini est la même chose qu'un quotient d'un anneau de polynômes (en un nombre fini @@ -593,7 +611,7 @@ En rassemblant ce fait avec \ref{hilbert-basis-theorem-for-polynomials} et avec le fait qu'un quotient d'un anneau noethérien est noethérien, on obtient : -\begin{cor} +\begin{cor}\label{finite-type-algebras-are-noetherian} Soit $k$ un corps ou $\mathbb{Z}$, ou plus généralement un anneau noethérien. Alors toute $k$-algèbre de type fini est un anneau noethérien. @@ -923,7 +941,7 @@ I) = Z(I)$ (car si $f^n$ s'annule en $x$ alors $f$ s'y annule aussi). On peut donc se contenter de considérer les $Z(I)$ avec $I$ idéal radical. -\thingy On appellera \textbf{fermé de Zariski} dans $k^d$, ou +\thingy On appellera \defin{fermé de Zariski} dans $k^d$, ou \defin{variété algébrique affine} sur $k$, une partie $E$ de la forme $Z(\mathscr{F})$ pour une certaine partie $\mathscr{F}$ de $k[t_1,\ldots,t_d]$, dont on a vu qu'on pouvait supposer qu'il @@ -1276,6 +1294,45 @@ c'est-à-dire $E \subseteq Z(f')$, ce qui signifie $f' \in Ceci montre bien que $\mathfrak{I}(E)$ est premier. \end{proof} +% +\subsection{L'anneau d'un fermé de Zariski : fonctions régulières} + +\thingy On suppose toujours que $k$ est algébriquement clos. +Considérons $I \subseteq k[t_1,\ldots,t_d]$ un idéal radical et $E = +Z(I)$ le fermé de Zariski qu'il définit. On rappelle que $I = +\mathfrak{I}(E)$ par le Nullstellensatz, c'est-à-dire qu'un polynôme +$f \in k[t_1,\ldots,t_d]$ s'annule identiquement sur $E$ si et +seulement si il est dans $I$. + +Considérons maintenant le morphisme $\Psi\colon k[t_1,\ldots,t_d] \to +k^E$ (où $k^E$ désigne la $k$-algèbre de toutes les fonctions $E \to +k$) qui à un polynôme $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ associe la fonction +polynomiale correspondante sur $E$, c'est-à-dire l'application +$\Psi(f)\colon E \to k$ donnée par $x \mapsto f(x)$. D'après ce qui +vient d'être dit, le noyau de ce morphisme $\Psi$ est $I$. Par +conséquent (cf. \ref{review-of-canonical-factorization}), l'image +de $\Psi$ s'identifie à $k[t_1,\ldots,t_d]/I$. L'image de $\Psi$ est +par définition l'ensemble des fonctions polynomiales sur $E$ : ce qui +vient d'être dit est que la fonction polynomiale $\Psi(f)$ définie +par $f\in k[t_1,\ldots,t_d]$ ne dépend que de la classe de $f$ +modulo $I$. + +L'anneau $k[t_1,\ldots,t_d]/I$ s'appellera \defin[régulières + (fonctions)]{anneau des fonctions régulières} du fermé de +Zariski $E$. Comme on vient de le signaler, ses éléments peuvent +s'identifier aux restrictions à $E$ des fonctions polynomiales +sur $k^d$. On le notera $\mathcal{O}(E)$. + +Par construction, $\mathcal{O}(E)$ est une $k$-algèbre de type +fini (cf. \ref{finite-type-algebras-as-quotients-of-polynomial-rings}), +donc un anneau noethérien +(cf. \ref{finite-type-algebras-are-noetherian}) ; par construction, +elle est un anneau \emph{réduit} (puisque $I$ est supposé un idéal +radical) ; elle est un anneau \emph{intègre} si et seulement si $E$ +est irréductible (cf. \ref{closed-irreducible-iff-prime-ideal}) ; et +elle est un \emph{corps} si et seulement si $E$ est un singleton +(cf. \ref{maximal-ideals-of-polynomial-algebras}), auquel cas c'est +simplement $k$. -- cgit v1.2.3