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From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Sat, 2 Apr 2016 20:57:26 +0200
Subject: Infinitely many valuations.  A lemma on dimensions.

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@@ -4119,7 +4119,7 @@ implique $(r+1)\cdot 1 \leq u$ ce qui contredit la minimalité de $r$ :
 on a donc $u = r\cdot 1$, ce qu'on voulait montrer.
 \end{proof}
 
-\thingy La propriété (C) du
+\thingy\label{degree-of-a-place} La propriété (C) du
 lemme \ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve} montre que, pour toute
 place $v$ d'un corps de fonctions $K$ de courbe sur $k$, le corps
 résiduel $\varkappa_v$ est une extension finie, donc algébrique,
@@ -4165,19 +4165,21 @@ $f \in K$ tel que $v(f) = 1$ (c'est-à-dire, avec la terminologie qu'on
 vient d'introduire, une fonction qui a un zéro d'ordre exactement $1$
 en $v$).  On parle aussi de \defin{paramètre local} pour $K$ en $v$.
 
-\thingy D'après la
+\thingy\label{constant-functions-on-a-curve} D'après la
 proposition \ref{valuation-rings-and-integral-closure}, la fermeture
 algébrique $\tilde k$ de $k$ dans $K$ coïncide avec l'ensemble des
 fonctions $f\in K$ telles que $v(f) \geq 0$ pour toute place $v \in
-\mathscr{V}_K$, autrement dit, les fonctions qui n'ont pas de pôle ;
-il s'agit également de l'ensemble des fonctions qui n'ont pas de zéro.
-Ces fonctions seront dites \defin[constante (fonction)]{constantes}.
-Pour dire les choses autrement, les conditions conditions suivantes
-sur $f \in K$ sont équivalentes :
+\mathscr{V}_K$, autrement dit, les fonctions qui n'ont pas de pôle.
+En passant à l'inverse, il s'agit également de l'ensemble des
+fonctions qui n'ont pas de zéro (plus la fonction identiquement
+nulle).  Ces fonctions seront dites \defin[constante
+  (fonction)]{constantes}.  Pour dire les choses autrement, les
+conditions conditions suivantes sur $f \in K$ sont équivalentes :
 \begin{itemize}
 \item $f$ est transcendant sur $k$,
 \item il existe au moins une place $v$ de $K$ où $f$ ait un pôle,
-\item il existe au moins une place $v$ de $K$ où $f$ ait un zéro,
+\item $f$ n'est pas nul, et il existe au moins une place $v$ de $K$ où
+  $f$ ait un zéro,
 \item $f$ n'est pas constante,
 \end{itemize}
 (la dernière étant la définition du mot « constant » dans ce
@@ -4396,6 +4398,60 @@ f_i) > r_i$ et $v_i(z - z_i) > r_i$, si bien que $v_i(f - f_i) = r_i$
 comme souhaité.
 \end{proof}
 
+\begin{cor}
+L'ensemble $\mathscr{V}_{K/k}$ des places d'un corps $K$ de fonctions
+de courbe sur $k$ est infini.
+\end{cor}
+\begin{proof}
+On a vu en \ref{valuations-on-curves-are-discrete} que tous les
+éléments de $\mathscr{V}_{K/k}$ sont des valuations \emph{discrètes}.
+Si cet ensemble était fini, disons $\mathscr{V}_{K/k} =
+\{v_1,\ldots,v_n\}$, d'après le résultat \ref{weak-approximation}
+qu'on vient de montrer, il existerait $f \in K$ tel que $v_i(f) = 1$
+pour tout $i$, c'est-à-dire $v(f) = 1$ pour toute place $v \in
+\mathscr{V}_{K/k}$.  Un tel $f$ contredit l'équivalence
+en \ref{constant-functions-on-a-curve} (une fonction qui n'a aucun
+pôle doit être constante, mais une fonction constante est soit
+identiquement nulle soit n'a pas de zéro non plus).
+\end{proof}
+
+
+\subsection{L'identité du degré}\label{subsection-degree-identity}
+
+\begin{lem}
+Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$, soient
+$v_1,\ldots,v_n$ des places de $K$ sur $k$ et soient $r_1,\ldots,r_n
+\in \mathbb{N}$.  Alors la dimension du $k$-espace vectoriel $L := \{f
+\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \leq -r_i\}$ est $\leq [\tilde k : k] +
+\sum_{i=1}^n r_i\, \deg(v_i)$ où on rappelle que $\deg(v_i)$ (degré de
+la place $v_i$, cf. \ref{degree-of-a-place}) est $\dim_k(\varkappa_i)$
+avec $\varkappa_i := \mathcal{O}_i/\mathfrak{m}_i$ le corps résiduel
+de $v_i$, et où $\tilde k$ est le corps des constantes (fermeture
+algébrique de $k$ dans $K$, cf. \ref{constant-functions-on-a-curve}).
+En particulier, cette dimension est finie.
+\end{lem}
+\begin{proof}
+On procède par récurrence sur $\sum_{i=1}^n r_i$.  Si les $r_i$ sont
+tous nuls, $L = \{f\in K : (\forall i)\, v_i(f_i) \leq 0\}$ est
+précisément $\tilde k$
+(cf. \ref{valuation-rings-and-integral-closure}), donc la formule est
+vérifiée dans ce cas.
+
+Supposons la propriété vérifiée pour certains $r_j$ et montrons
+qu'elle l'est encore quand on remplace l'un d'entre eux, disons $r_i$,
+par $r'_i := r_i+1$, avec $r'_j = r_j$ si $j\neq i$.  Soit $L'$
+l'espace correspondant (défini de la même façon que $L$ mais avec
+les $r'_j$).  Soit $z$ tel que $v_j(z) = r_j+1$.  Alors pour $f \in
+L'$ on a $v_j(fz) \geq 0$, c'est-à-dire $fz \in \mathcal{O}_i$, et de
+plus $fz \in \mathfrak{m}_i$ se produit exactement lorsque
+$v_j(fz)\geq 1$ c'est-à-dire que $f \in L$.  On a donc défini une
+application $k$-linéaire $L'\to\varkappa_i$ envoyant $f$ sur la classe
+de $fz \in \mathcal{O}_i$ modulo $\mathfrak{m}_i$, dont le noyau
+est $L$.  En particulier, $\dim_k(L') \leq \dim_k(\varkappa_i) +
+\dim_k(L) \leq [\tilde k : k] + \sum_{i=1}^n r'_i\, \deg(v_i)$, ce qui
+conclut la récurrence.
+\end{proof}
+
 
 
 % TODO:
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