From 469b2486b12e747586b59a27ce5cf81e8f702ddd Mon Sep 17 00:00:00 2001
From: "David A. Madore" <david+git@madore.org>
Date: Wed, 30 Mar 2016 15:14:42 +0200
Subject: Valuations on function fields of curves are discrete.

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@@ -3584,6 +3584,14 @@ $v\colon K^\times \to \mathbb{Z}$ est surjective si et seulement si
 elle atteint la valeur $1$.
 \end{proof}
 
+\thingy Les valuations de $K$ et les anneaux de valuations de $K$ sont
+donc exactement interchangeables, et on se permettra d'utiliser la
+terminologie de l'un pour l'autre.  Par exemple, dire qu'une valuation
+est non-triviale signifie qu'elle ne prend pas que les valeurs $0$
+et $\infty$.  Dire qu'une valuation est au-dessus de $k$ (sous-corps
+de $K$) signifie qu'elle est nulle sur $k^\times$ (ou positive
+sur $k$, ce qui revient au même).
+
 \begin{prop}
 Si $R$ est un anneau de valuation, alors $R$ est un \defin[local
   (anneau)]{anneau local}, c'est-à-dire qu'il a un unique idéal
@@ -3612,20 +3620,20 @@ résiduel, défini comme le quotient de l'anneau de valuation $R :=
 On note parfois $\mathcal{O}_v$ pour l'anneau de valuation d'une
 valuation $v$ et $\mathfrak{m}_v$ pour son idéal maximal.
 
-Une valuation au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de fonctions sur $k$
-comme en \ref{definition-function-field} s'appelle une \defin{place}
-(ou, s'il faut être plus explicite, une $k$-place) de $K$.  (Cette
-terminologie est essentiellement utilisée pour le corps des fonctions
-d'une courbe, i.e., en degré de transcendance $1$.)
+Une valuation non-triviale au-dessus de $k$ sur un corps $K$ de
+fonctions sur $k$ comme en \ref{definition-function-field} s'appelle
+une \defin{place} (ou, s'il faut être plus explicite, une $k$-place)
+de $K$.  (Cette terminologie est essentiellement utilisée pour le
+corps des fonctions d'une courbe, i.e., en degré de
+transcendance $1$.)
 
 
 \subsection{Places des courbes}\label{subsection-places-of-curves}
 
 \begin{lem}\label{key-lemma-on-valuations-of-a-curve}
 Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$
-(cf. \ref{definition-function-field}) et $R$ un anneau de valuation
-de $K$ au-dessus de $k$ (cf. \ref{definition-valuation-ring}), dont on
-note $v$ la valuation associée.
+(cf. \ref{definition-function-field}) et $v$ une valuation
+de $K$ au-dessus de $k$ (cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}).
 
 (A) Si $x$ vérifie $0 \neq v(x) < \infty$, alors $x$ est transcendant
 sur $k$ et le corps $K$ est \emph{fini} sur $k(x)$.
@@ -3668,6 +3676,42 @@ celle de n'importe quel autre terme dans cette somme (puisque $v(g_i)
 interdit que la somme puisse être nulle.  Ceci démontre (B).
 \end{proof}
 
+\begin{prop}
+Soit $K$ un corps de fonctions de courbe sur $k$
+(cf. \ref{definition-function-field}).  Alors toutes les valuations
+(cf. \ref{valuation-ring-versus-valuation-function}) non-triviales de
+$K$ au-dessus de $k$ (=places de $K$) sont \index{discrète
+  (valuation)}\emph{discrètes} — c'est-à-dire qu'il existe un plus
+petit élément strictement positif dans le groupe des valeurs et que
+tous les éléments en sont des multiples entiers, si bien que le groupe
+des valeurs peut s'identifier à $\mathbb{Z}$ pour son ordre usuel.
+\end{prop}
+\begin{proof}
+Soit $v \colon K \to \Gamma\cup\{\infty\}$ une valuation non-triviale
+de $K$ au-dessus de $k$.  Le fait que $v$ est non-triviale assure
+qu'il existe $x\in K$ tel que $0\neq v(x) < \infty$, et alors le (A)
+du lemme \ref{key-lemma-on-valuations-of-a-curve} montre que $K$ est
+fini sur $k(x)$.  Quitte à remplacer $x$ par $\frac{1}{x}$, on peut
+supposer $v(x)>0$.  Montrons qu'il existe un élément $z \in K$ avec
+$v(z)$ strictement positif minimal : si ce n'est pas le cas de $x$, il
+existe $x'$ tel que $0 < v(x') < v(x) < \infty$, et si $x'$ n'est
+toujours pas minimal, il existe $x''$ tel que $0 < v(x'') < v(x') <
+v(x) < \infty$, et ainsi de suite : ce processus doit terminer en au
+plus $[K : k(x)]$ étapes d'après le (B) du lemme, donc il existe un $z
+\in K$ avec $v(z)$ strictement positif minimal.  Notons $1 := v(z)$.
+
+Il reste à montrer que tout élément $u$ de $\Gamma$ est un multiple
+entier de $1$.  C'est trivial si $u=0$ donc quitte à remplacer
+éventuellement $u$ par $-u$ on peut supposer $u > 0$.  Toujours
+d'après le (B) du lemme, il n'est pas possible qu'on ait $u > r\cdot
+1$ (en notant $r\cdot 1$ pour $1+1+\cdots+1$ avec $r$ termes) pour
+tout $r \in \mathbb{N}$.  Il existe donc $r$ minimal tel que $r\cdot 1
+\leq u$, et comme $u - (r\cdot 1) \geq 0$, par minimalité de $1$
+dans $\Gamma$, il est soit nul soit $\geq 1$, mais le dernier cas
+implique $(r+1)\cdot 1 \leq u$ ce qui contredit la minimalité de $r$ :
+on a donc $u = r\cdot 1$, ce qu'on voulait montrer.
+\end{proof}
+
 
 
 
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