From 5c628d145bd6e100f8a5484ded6f5b0cf0c06c64 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Mon, 14 Apr 2025 23:13:45 +0200 Subject: Improve test somewhat. --- controle-20250416.tex | 187 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++--------- 1 file changed, 155 insertions(+), 32 deletions(-) diff --git a/controle-20250416.tex b/controle-20250416.tex index b382d2b..99122f3 100644 --- a/controle-20250416.tex +++ b/controle-20250416.tex @@ -125,18 +125,54 @@ dans $\mathbb{P}^2$ de coordonnées $(x{:}y{:}z)$ sur $k$. y^3 + z^3$, n'ont pas de zéro commun dans $\mathbb{P}^2$. On rappelle que ceci nous permet de conclure que $C$ est une courbe (plane). +\begin{corrige} +On a $\frac{\partial f}{\partial x} = 3x^2$, $\frac{\partial + f}{\partial y} = 3y^2$ et $\frac{\partial f}{\partial z} = 3z^2$. +Si ces trois valeurs s'annulent, comme le corps était supposé de +caractéristique $\neq 3$, on a $x=y=z=0$, ce qui est impossible pour +des coordonnées homogènes sur $\mathbb{P}^2$. + +On a donc montré que $f=0$ définit une courbe plane (lisse !). +\end{corrige} + (2) Quels sont les points géométriques de $C$ situés la droite $\{z=0\}$ ? On pourra noter $\omega$ une racine primitive cubique de l'unité dans la clôture algébrique $k^{\alg}$ de $k$. Par symétrie, on donnera aussi les points géométriques de $C$ sur les droites $\{x=0\}$ et $\{y=0\}$. +\begin{corrige} +Si un point géométrique $(x{:}y{:}z)$ de $C$ vérifie de plus $z=0$, +alors il vérifie $x^3 + y^3 = 0$. On ne peut pas aussi avoir $x=0$ +car ceci forcerait $y=0$ ce qui n'est pas possible : on a donc +$(-\frac{y}{x})^3 = 1$, c'est-à-dire que $-\frac{y}{x}$ est l'une des +trois racines cubiques de l'unité $1,\omega,\omega^2$. Bref, les +trois points de $C$ sur la droite $\{z=0\}$ sont $(1{:}-1{:}0)$, +$(1{:}-\omega{:}0)$ et $(1{:}-\omega^2{:}0)$. Symétriquement, les +trois points de $C$ sur la droite $\{x=0\}$ sont $(0{:}1{:}-1)$, +$(0{:}1{:}-\omega)$ et $(0{:}1{:}-\omega^2)$, et les trois points de +$C$ sur la droite $\{x=0\}$ sont $(-1{:}0{:}1)$, $(-\omega{:}0{:}1)$ +et $(-\omega^2{:}0{:}1)$. Notons que chacun de ces neuf points peut +se réécrire de diverses manières, par exemple les trois derniers +s'écrivent aussi $(1{:}0{:}-1{:})$, $(1{:}0{:}-\omega^2)$ et +$(1{:}0{:}-\omega)$ respectivement. +\end{corrige} + (3) Quelle est l'équation affine de la partie de $C$ située dans l'espace affine $\mathbb{A}^2$ complémentaire de la droite $\{z=0\}$ dans $\mathbb{P}^2$ ? On appellera $u,v$ les coordonnées affines sur ce $\mathbb{A}^2$, qu'on exprimera par rapport aux coordonnées homogènes $x,y,z$ sur $\mathbb{P}^2$. +\begin{corrige} +En posant $u = \frac{x}{z}$ et $v = \frac{y}{z}$, l'équation affine de +$C$ s'écrit en déshomogénéisant l'équation projective, c'est-à-dire : +\[ +u^3 + v^3 + 1 = 0 +\] +\vskip-3ex\leavevmode +\end{corrige} + (4) Calculer la droite tangente à $C$ au point $(0{:}-1{:}1)$. Quel est l'ordre d'annulation la fonction $\frac{x}{z}$ en ce point ? En déduire quel est l'ordre d'annulation de la fonction $\frac{y}{z}+1$ @@ -144,10 +180,65 @@ en ce point. (On recommande de faire les calculs dans $\mathbb{A}^2$, et éventuellement de faire une translation pour se ramener à l'origine de $\mathbb{A}^2$.) +\begin{corrige} +Utilisons les coordonnées affines $(u,v) = (\frac{x}{z}, \frac{y}{z})$ +décrites à la question (3) pour trouver l'équation de la droite +tangente à $C$ au point $(0,-1)$. Elles s'obtient en dérivant +l'équation $u^3 + v^3 + 1$ de la partie affine de $C$ en ce point, ce +qui donne $-3(v+1) = 0$, c'est-à-dire $v=1$. Autrement dit, il s'agit +de la droite horizontale par le point $(0,-1)$ considéré. + +La coordonnée $v$ s'annulant à l'ordre $1$ en $0$ sur la droite $v=1$ +tangente à $C$, elle s'annule aussi à l'ordre $1$ en $0$ sur $C$, +c'est-à-dire $\ord_{(0,-1)}u = 1$. + +Pour ce qui est de l'ordre de $v+1$ en ce point, on utilise le fait +que $v^3+1 = (v+1)(v^2-v+1) = -u^3$ s'annule à l'ordre $3$ comme on +vient de le voir. Comme $v^2-v+1$ ne s'annule pas, c'est que $v+1$ +s'annule à l'ordre $3$. (Ceci est peut-être plus intuitif en +translatant, c'est-à-dire en posant $v' = v+1$ : l'équation de la +courbe est alors $u^3 + v^{\prime3} - 3v^{\prime2} + v' = 0$, et comme +$u^3$ a l'ordre $3$ et que $v'$ a un ordre au moins $1$, cet ordre +doit être exactement $3$.) +\end{corrige} + (5) Quels sont les diviseurs principaux associés aux fonctions rationnelles $\frac{x}{z}$ et $\frac{y}{z}+1$ sur $C$ ? On vérifiera que le degré est bien ce qu'il doit être. +\begin{corrige} +On a vu que la fonction rationnelle $\frac{x}{z}$ s'annule exactement +aux points $(0{:}1{:}-1)$, $(0{:}1{:}-\omega)$ et +$(0{:}1{:}-\omega^2)$, et à chaque fois c'est à l'ordre $1$ (la +question précédente le donne pour le premier de ces points, mais pour +les deux autres on peut par exemple appliquer la transformation +projective multipliant la coordonnée $z$ par $\omega$, qui laisse +invariante la courbe $C$). Son inverse $\frac{z}{x}$ s'annule +exactement aux trois points $(1{:}-1{:}0)$, $(1{:}-\omega{:}0)$ et +$(1{:}-\omega^2{:}0)$, là aussi à l'ordre $1$ à chaque fois, par +permutation des coordonnées. Le diviseur de la fonction $\frac{x}{z}$ +est donc +\[ +\begin{aligned} +& [(0{:}1{:}-1)] + [(0{:}1{:}-\omega)] + + [(0{:}1{:}-\omega^2)]\\ +-\, & [(1{:}-1{:}0)] - [(1{:}-\omega{:}0)] - + [(1{:}-\omega^2{:}0)] +\end{aligned} +\] +Son degré vaut bien $0$ comme il sied à un diviseur principal. Quant +à $\frac{y}{z}+1$, ses pôles sont les mêmes que ceux de $\frac{y}{z}$, +qui sont eux mêmes les mêmes que ceux de $\frac{x}{z}$ pour les mêmes +raisons que cei-dessus, et l'unique zéro, triple, de $\frac{y}{z}+1$ a +été révélé à la question (4): bref, le diviseur de $\frac{y}{z}+1$ est +\[ +3\cdot [(0{:}1{:}-1)] +- [(1{:}-1{:}0)] - [(1{:}-\omega{:}0)] - + [(1{:}-\omega^2{:}0)] +\] +De nouveau, il est bien de degré $0$. +\end{corrige} + % % @@ -155,7 +246,7 @@ que le degré est bien ce qu'il doit être. \exercice -Soit $K = k(C)$ le corps de fonctions\footnote{I.e., le corps des +\label{equation-with-no-solutions}Soit $K = k(C)$ le corps de fonctions\footnote{I.e., le corps des fonctions rationnelles sur $C$.} d'une courbe $C$ sur un corps $k$. Soit $P$ un point géométrique de $C$. Pour $f \in K$, on notera $v(f) := \ord_P(f)$ l'ordre d'annulation de $f$ en $P$ (aussi appelé @@ -202,16 +293,24 @@ valuation \emph{strictement plus petite} que tous les autres, alors la somme n'est pas nulle. \begin{corrige} -On remarque que si $x \in K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un -multiple de $d$. Par conséquent, $v(z^i x^d) = i + d\,v(x)$ est -congru à $i$ modulo $d$. Par conséquent, dans la somme $x_0^d + z -x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + z^{d-1} x_{d-1}^d$, il est impossible que -deux termes aient la même valuation (puisqu'elles sont congrues à des -valeurs différentes modulo $d$) sauf si cette valuation est $\infty$, -c'est-à-dire que les termes sont nuls. Donc dès lors que tous les -termes ne sont pas nuls, il y en a un qui a une valuation -\emph{strictement} plus petite que tous les autres. La somme ne peut -pas être nulle, ce qui prouve le résultat voulu. +Commençons par montrer l'affirmation du dernier paragraphe : si $g_1 + +\cdots + g_m$ est une somme où $v(g_i) < v(g_j)$ pour tout $j\neq i$, +alors $v(g_i) < v(g')$ où $g' := \sum_{j\neq i} g_j$ d'après la +propriété sur la valuation d'une somme, et celle-ci entraîne alors que +la valuation de la somme $g_i + g'$ est égale à celle de $g_i$, donc +n'est pas $+\infty$. + +Passons à la question principale. On remarque que si $x \in +K^\times$, alors $v(x^d) = d\,v(x)$ est un multiple de $d$. Par +conséquent, $v(z^i x^d) = i + d\,v(x)$ est congru à $i$ modulo $d$. +Par conséquent, dans la somme $x_0^d + z x_1^d + z^2 x_2^d + \cdots + +z^{d-1} x_{d-1}^d$, il est impossible que deux termes aient la même +valuation (puisqu'elles sont congrues à des valeurs différentes +modulo $d$) sauf si cette valuation est $+\infty$, c'est-à-dire que +les termes sont nuls. Donc dès lors que tous les termes ne sont pas +nuls, il y en a un qui a une valuation \emph{strictement} plus petite +que tous les autres. La somme ne peut pas être nulle d'après ce qui +vient d'être démontré, ce qui prouve le résultat voulu. \end{corrige} @@ -239,19 +338,20 @@ le zéro trivial $(0,\ldots,0)$. Soit maintenant $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, et soit $K$ le corps de fonctions d'une courbe $C$ sur $k$ (dans les questions -(1) et (2), on supposera même que cette courbe est $\mathbb{P}^1$). +(1) et (2), on supposera d'ailleurs que cette courbe +est $\mathbb{P}^1$). \smallskip On considère $f \in K[t_0,\ldots,t_n]$ un polynôme \emph{homogène} en -les indéterminées $t_0,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie $0 -< d \leq n$. Le but de l'exercice est de montrer que la variété -algébrique projective $Z_{\mathbb{P}^n}(f)$ définie dans -$\mathbb{P}^n$ de coordonnées homogènes $(x_0{:}\cdots{:}x_n)$ par -l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, a un $K$-point, c'est-à-dire que -l'équation $f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution avec -$(x_0,\ldots,x_n$ dans $K$ qui soit non-triviale, i.e. différente -de $(0,\ldots,0)$. +les indéterminées $t_0,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie +$1\leq d \leq n$. Le but de l'exercice est de montrer\footnote{Ce +résultat s'appelle le théorème de Tsen.} que la variété algébrique +projective $Z_{\mathbb{P}^n}(f)$ définie dans $\mathbb{P}^n$ de +coordonnées homogènes $(x_0{:}\cdots{:}x_n)$ par l'équation +$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$, a un $K$-point, c'est-à-dire que l'équation +$f(x_0,\ldots,x_n) = 0$ a une solution avec $x_0,\ldots,x_n$ dans $K$ +qui soit non-triviale, i.e. différente de $(0,\ldots,0)$. \smallbreak @@ -259,9 +359,9 @@ de $(0,\ldots,0)$. égal au corps $k(z)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $z$, et on suppose de plus que $f$, qui \textit{a priori} vit dans $k(z)[t_0,\ldots,t_n]$, est en fait dans -$k[z,t_0,\ldots,t_n]$ (et toujours de degré $0