From 78e74a95c0e64a8bbe12047109ae429b5aac87b8 Mon Sep 17 00:00:00 2001 From: "David A. Madore" Date: Sat, 16 Apr 2016 19:19:15 +0200 Subject: New exercise for exam: Tsen's theorem. --- controle-20160421.tex | 258 +++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++- 1 file changed, 253 insertions(+), 5 deletions(-) diff --git a/controle-20160421.tex b/controle-20160421.tex index ae93c7d..9da37a6 100644 --- a/controle-20160421.tex +++ b/controle-20160421.tex @@ -46,6 +46,7 @@ \newcommand{\divis}{\operatorname{div}} \newcommand{\Pic}{\operatorname{Pic}} \newcommand{\ord}{\operatorname{ord}} +\newcommand{\norm}{\operatorname{N}} % \DeclareUnicodeCharacter{00A0}{~} % @@ -117,7 +118,7 @@ Durée : 3h % % -\exercice +\exercice\label{basic-dimension-fact} Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}. On considère $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ des polynômes \emph{homogènes} @@ -126,10 +127,11 @@ $t_1,\ldots,t_n$ (on rappelle qu'un polynôme est dit « homogène » de degré $d$ lorsque le degré total $\sum_{i=1}^n r_i$ de chacun de ses monômes $t_1^{r_1} \cdots t_n^{r_n}$ est égal à $d$). Le but de l'exercice est de montrer que si $n>m$ alors il existe dans $k^n$ un -zéro commun non-trivial (c'est-à-dire différent de $(0,\ldots,0)$) à -$f_1,\ldots,f_m$. On suppose donc par l'absurde que l'ensemble -$Z(f_1,\ldots,f_m)$ des zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à -$\{(0,\ldots,0)\}$ et on va montrer $n \leq m$. +zéro commun non-trivial à $f_1,\ldots,f_m$ (c'est-à-dire une solution +de $f_1=\cdots=f_m=0$ dans $k^n$, différente de $(0,\ldots,0)$). On +suppose donc par l'absurde que l'ensemble $Z(f_1,\ldots,f_m)$ des +zéros communs à $f_1,\ldots,f_m$ est réduit à $\{(0,\ldots,0)\}$ et on +va montrer $n \leq m$. (1) Montrer qu'il existe $r \in \mathbb{N}$ tel que tout monôme de degré total $\geq r$ en $t_1,\ldots,t_n$ appartienne à l'idéal $I$ @@ -245,6 +247,252 @@ donc on a $\degtrans_k k(t_1,\ldots,t_n) = n$. On a bien prouvé $n \end{corrige} +% +% +% + +\exercice + +Cet exercice utilise le résultat de +l'exercice \ref{basic-dimension-fact} : il \emph{n'est pas nécessaire} +d'avoir traité l'exercice en question, seulement d'avoir pris +connaissance de sa conclusion, formulée dans le premier paragraphe de +son énoncé. + +Soit $k$ un corps \emph{algébriquement clos}, et soit $K$ un corps de +fonctions de courbe sur $k$ (c'est-à-dire, une extension finie du +corps $k(z)$ des fractions rationnelles en une indéterminée $z$). + +On considère $f \in K[t_1,\ldots,t_n]$ un polynôme \emph{homogène} en +les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$ dont le degré total $d$ vérifie $0 +< d < n$. Le but de l'exercice est de montrer qu'il existe dans $K^n$ +un zéro non-trivial à $f$ (c'est-à-dire une solution de +$f(x_1,\ldots,x_n) = 0$ différente de $(0,\ldots,0)$). + +\smallbreak + +(1) \emph{Dans un premier temps,} on suppose que $K = k(z)$ est le +corps des fractions rationnelles en une indéterminée $z$, et on +suppose de plus que $f$, \textit{a priori} dans +$k(z)[t_1,\ldots,t_n]$, est en fait dans $k[z,t_1,\ldots,t_n]$ (et +toujours de degré $0 0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$, +on peut conclure à l'existence d'un zéro commun non-trivial à +$f_1,\ldots,f_m$ dans $K^n$ sous une certaine hypothèse sur +$d_1,\ldots,d_m$. Sans réécrire les démonstrations, indiquer quelle +serait cette condition. + +\begin{corrige} +Si on reprend les questions précédentes avec maintenant $m$ polynômes, +dans la question (1), on obtiendra maintenant un système de +$\sum_{j=1}^m (N d_j + \delta + 1) = N(d_1+\cdots+d_m) + m\delta + m$ +équations en $n(N+1)$ variables, qui a donc une solution pour $N$ +grand lorsque $d_1 + \cdots + d_m < n$. Les arguments des questions +(2) et (4) ne sont essentiellement pas modifiés, et on arrive à la +conclusion que : + +Si $K$ est le corps des fonctions d'une courbe sur un corps $k$ +algébriquement clos et si $f_1,\ldots,f_m \in k[t_1,\ldots,t_n]$ sont +des polynômes homogènes de degrés totaux respectifs $d_1,\ldots,d_m > +0$ en les indéterminées $t_1,\ldots,t_n$, qui vérifient +$d_1+\cdots+d_m < n$, alors $f_1,\ldots,f_m$ ont un zéro commun +non-trivial dans $K^n$. [Théorème de Tsen.] +\end{corrige} + + % % -- cgit v1.2.3